Manuale di Acustica

Dedicato a Brian May, chitarrista dei Queen

Alberto Orlandini

Il suono

Un’onda sonora consiste in lievi variazioni della pressione atmosferica che seguono una legge armonica. In termini matematici:

Il suono non si propaga nel vuoto perché non c’è pressione.

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Velocità [m/s]

La velocità rappresenta la distanza percorsa dall’onda sonora in un secondo.
La velocità del suono dipende dal mezzo di propagazione e dalla temperatura.
Pare che Isaac Newton sia stato il primo ad aver misurato la velocità del suono nell'aria.

velocità nell’aria a 20°C = 343 m/s
velocità nell’acqua a 20 °C = 1525 m/s
velocità nel ferro = 5000 m/s

Velocità nell’aria in funzione della temperatura

La velocità del suono nell’aria dipende dalla temperatura e può essere ottenuta con la formula seguente:

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Frequenza [Hz = s^-1]

La frequenza rappresenta il numero di oscillazioni che l’onda compie in un secondo.
Un orecchio umano medio riesce a percepire suoni con frequenza compresa
tra 40 Hz e 15000 Hz.
Per quanto riguarda l’emissione, se si considera solo la frequenza principale – quella propria della nota emessa – escludendo tutte le altre armoniche, il rango vocale umano va da 70 Hz a 1000 Hz o più, cioè da un Re(1) a un Do(5) o più.
In realtà pochi esseri umani riescono realmente a coprire un rango così ampio – si tratterebbe quasi di 4 ottave!

In base alla frequenza i suoni vengono classificati in note musicali.

Frequenza di suoni generati da una corda

La formula seguente fu ipotizzata da Galileo Galilei e poi risultò essere corretta.
Essa restituisce la frequenza di un suono generato da una corda vibrante:

n [Hz] (frequenza) T [N] (tensione) m [kg/m] (massa lineare) L [m] (lunghezza della parte vibrante)

La vibrazione della corda produce anche altri suoni le cui frequenze sono multiple di quella restituita dalla formula. Tali suoni sono detti armoniche.

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Note musicali

Gli esseri umani distinguono i suoni in base alla frequenza, o meglio in base al rapporto tra le frequenze. L’orecchio umano ha una percezione logaritmica della frequenza: più precisamente, ad ogni ottava corrisponde un raddoppiamento o un dimezzamento di frequenza.

Il problema di costruire una scala musicale consiste nello scegliere una successione di toni, chiamati note, con intervalli opportuni, in modo da permettere un dato tipo di musica.
In particolare è molto importante sapere che cosa avviene quando due o più note sono suonate insieme (armonia funzionale).

Fin dai tempi di Pitagora è noto che due suoni provocano una sensazione piacevole solo se il rapporto tra le loro due frequenze è quello di due numeri interi piccoli (1/2, 2/3, 3/4...). In tal caso i suoni sono consonanti. Altrimenti si dicono dissonanti.

Nella tabella seguente sono riportati i rapporti di consonanza più comuni in musica.

La scala naturale

La scala naturale viene attribuita al filosofo greco Aristoxenus Tarentinus (500-400 a.C.) e consiste di una successione di note con frequenze crescenti.

Una volta fissata la frequenza della prima nota - il do della scala -, le frequenze delle altre sono determinate dai rapporti indicati nella tabella seguente. Con l'ultimo Do comincia l'ottava successiva e l'operazione può ripetersi.

Il rapporto è riferito alla frequenza della prima nota della scala.

La scala temperata

Notiamo che nella scala naturale i rapporti fra le frequenze di due note che differiscono tra loro di un tono non sono sempre gli stessi. Di conseguenza una data melodia non può essere suonata a partire da una nota arbitraria della scala. Per esempio, una melodia che inizia con le due note Do e Re (rapporto 9/8) non può essere trasposta un tono più alta, poiché il rapporto fra le frequenze del Mi e del Re è molto vicino ((5/4)/(9/8) = 10/9), ma non identico a 9/8.

Per ovviare a questo inconveniente, si fa uso della cosiddetta scala temperata, che costituisce il compromesso adottato nella musica occidentale.
Essa si ottiene dividendo un intervallo di ottava in dodici intervalli, detti semitoni, tali che il rapporto delle frequenze di due note successive sia costante e pari a  = 1,059463

La tabella seguente permette un confronto tra la scala naturale e la scala temperata:

Se si guardano i valori delle potenze di  e i valori delle frazioni, è sorprendente quanto essi siano simili. Per la musica è una fortuna che la differenza tra le due scale sia impercettibile.
Quale delle due scale è la più giusta?
L’orecchio umano percepisce le frazioni o gli esponenti di ?
Una risposta certa non esiste, ma poiché l’orecchio umano non riesce a percepire alcuna differenza tra le due scale, non è essenziale trovare una risposta.

Il rapporto  = 1,059463 è lo stesso valore che si troverebbe se si calcolasse il rapporto tra le ampiezze di due tasti consecutivi di una chitarra. Il dodicesimo tasto divide la corda esattamente a metà. Per maggiori informazioni vedere la sezione Programmi

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Tabella delle frequenze delle note musicali

Per convenzione la nota di riferimento è il La centrale
Sappiamo dai flauti che nel Rinascimento esso era più alto di 460 Hz.
Nel 1859 il La francese fu ufficialmente fissato a 435 Hz. In seguito tale frequenza fu adottata come altezza internazionale nel 1887 a Vienna. Tuttavia il La britannico era ancora fissato a 440 Hz.
Oggi il La è convenzionalmente fissato a 440 Hz ovunque.

Ci sono modi differenti per indicare le ottave. Di solito 440 Hz è la frequenza del La(3), ma a volte è possibile trovare che 440 Hz è il La(4) o il La(2). Qui sotto si assume che 440 Hz sia la frequenza del La(3).

Il La basso delle chitarre (5° corda) è 110 Hz

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Lunghezza d’onda [m]

La lunghezza d’onda è la distanza tra due punti consecutivi in cui la pressione atmosferica è minima o massima.
Conoscendo velocità e frequenza, è possibile ricavare la lunghezza d’onda con la formula seguente:

La lunghezza d’onda dei suoni udibili va dai centimetri ai metri.

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Effetto Doppler per le onde sonore

Se la sorgente o il ricevente di un onda sono in movimento, le velocità non si sommano con la velocità propria dell’onda nel mezzo. La velocità di propagazione dell’onda nel mezzo infatti non varia. Ciò che varia è la frequenza.

Le formule seguenti conterranno i seguenti simboli:

Sorgente in movimento rispetto al mezzo:

Ricevente in movimento rispetto al mezzo:

Quando sia la sorgente sia il ricevente si muovono rispetto al mezzo:

vr = velocità del ricevente rispetto al mezzo vs = velocità della sorgente rispetto al mezzo positive se provocano avvicinamento tra sorgente e ricevente negative se provocano allontanamento

Se anche il mezzo è in movimento (ad esempio, c’è vento), v_r e v_s devono comunque essere espresse rispetto al mezzo. Tuttavia in tal caso può risultare più comodo continuare a esprimere v_r e v_s in un sistema di riferimento solidale con la terra, sostituendo la velocità dell’onda c con:
c’ = c + v_m (dove v_m è la velocità del mezzo rispetto alla terra).

Inoltre se il moto della sorgente o del ricevente non avvengono lungo la direzione di propagazione del suono, ma in una direzione inclinata di un angolo a, il rapporto v/c deve essere moltiplicato per cos(a)

La differenza tra le variazioni di frequenza nei due casi (sorgente in movimento, ricevente in movimento) è una differenza reale che si riscontra sperimentalmente.
Tale differenza ha però anche una notevole importanza teorica, perché mostra che le due situazioni sono realmente diverse.

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Effetto Doppler per la luce e le onde elettromagnetiche

Per le onde elettromagnetiche e per la luce, che si propagano anche nel vuoto, il mezzo non conta più. Conta invece solo il moto relativo tra sorgente e ricevente.

Con le opportune correzioni relativistiche di Lorentz si ottiene che

v = velocità relativa tra sorgente e ricevente positiva se si avvicinano negativa se si allontanano

Per valori piccoli di v/c ,  tale espressione può essere approssimata a una delle due espressioni che avevamo trovato per le onde sonore.

Infatti per x tendente a zero     

Se una sorgente si muove con velocità maggiore della velocità delle onde
- per la luce non è possibile
- per il suono, non ci saranno onde davanti alla sorgente;
in tal caso le onde si accumulano dietro la sorgente formando un onda d’urto
che viene udita come un boom sonico (aerei supersonici)

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Intensità sonora

L’intensità sonora è comunemente chiamata volume.

Pressione sonora [Pa = N/m²]

La pressione sonora rappresenta la forza esercitata dall’onda sonora su un m² di superficie.

Il timpano è sempre soggetto alla pressione atmosferica, che è pressoché costante. In presenza di un suono o di rumore, il timpano è anche soggetto alla pressione esercitata dall’onda sonora, che si somma alla pressione atmosferica. Si ricorda che, indicando con p_s la pressione sonora, la pressione totale esercitata sul timpano è data da:

p = p_atm + p_s , dove p_s = p₀·sin(2p n t)

Il volume percepito è tanto più alto quanto più alta è la differenza di pressione
tra i punti in cui la pressione è massima e i punti in cui è minima.

La pressione sonora è una grandezza relativa all’ascoltatore
ed è inversamente proporzionale alla distanza dalla sorgente.

Potenza sonora [W]

La potenza sonora rappresenta l’energia acustica emessa da una sorgente in un secondo.

La potenza istantanea ha generalmente un valore molto inferiore alla potenza massima
(Ad esempio: uno speaker che sull’ etichetta di fabbricazione riporta una potenza nominale massima di 50 W, non raggiungerà mai quella potenza. Con un normale ascolto la potenza istantanea rimarrà sempre 1 W circa)

La potenza sonora è una grandezza relativa unicamente alla sorgente.

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Livelli [dB]

Si definisce livello il logaritmo del rapporto tra una data quantità e una quantità di riferimento della stessa specie.
L’unità di misura dei livelli sonori è il decibel, simbolo dB.
Lo strumento di misura è il fonometro.

Livello di pressione sonora

E’ una grandezza relativa all’ascoltatore, e dipende dalla distanza dalla sorgente.

L_p   =     10  Log₁₀ [ ( p / p₀ )² ]     =    20  Log₁₀ [ ( p / p₀ ) ]

p₀ è la pressione sonora di riferimento, che per convenzione vale  20 ·10^-6 Pa

Livello di potenza sonora

E’ una grandezza relativa unicamente alla sorgente, e non dipende dalla distanza.

L_w   =     10  Log₁₀ ( W / W₀ )     =    10  Log₁₀ W  +  120 dB

dove W è la potenza istantanea della sorgente espressa in watt [W]
W₀ è la potenza sonora di riferimento, che per convenzione vale  10^-12 W

Livello di pressione sonora in funzione della distanza dalla sorgente

La pressione sonora è inversamente proporzionale alla distanza dalla sorgente

L_B – L_A   =   –  20  Log₁₀ ( r_B / r_A )

DL =  – 6 dB   ogni volta che si raddoppia la distanza dalla sorgente
DL =  – 20 dB   ogni volta che si aumenta la distanza dalla sorgente di un fattore 10.

Livello di pressione sonora in funzione della distanza dalla sorgente
quando è noto il livello di potenza sonora

L_p    =     L_w     –  20  Log₁₀ ( r )   – 10

dove r è la distanza dalla sorgente espressa in metri

Bibliografia

Alcune formule sono prese da libri, conoscenza comune e altre fonti.
Molte parti, soprattutto le parti relative alle note musicali e l'acustica, è stata scritta dallo stesso Alberto Orlandini.
L'esposizione degli argomenti, così come l'organizzazione dell'esposizione, è stata curata da Alberto Orlandini.

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