Formule
<indice<<

Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz

Se a e b sono due vettori, allora 
 
  a         b
—————  e  —————   sono vettori unitari e perciò
 |a|       |b| 

       a       b
-1 £ ————— · ————— £ 1.
      |a|     |b|
Di conseguenza
-|a|·|b| £ a·b £ |a|·|b|.

Diseguaglianza di Minkowski

 

|a+b|2 = (a + b)2

        = a2 + b2  + 2·a·b

       £ |a|2 + |b|2 + 2·|a|·|b|

       £ (|a| + |b|)2
Di conseguenza
|a+b| £ |a| + |b|

Prodotto scalare e coseno

Se a e b sono due vettori che formano un angolo a
a · b = |a|·|b| cosa

Teorema del coseno (di L. Carnot)

Se a e b sono due vettori e a è l'angolo tra i due, allora 
 
|b – a|2  = 

=(b – a) · (b – a) =

= b·b + a·a - 2a·b =

= |b|2 + |a|2 - 2|a|·|b|·cosa
Quindi

|AB|2 = |OB|2 + |OA| – 2·|OB|·|OA|·cosa

o più in generale per un triangolo ABC e g l'angolo in C

|AB|2 = |CB|2 + |CA|2 – 2·|CB|·|CA|·cosg

Ortogonalità

Due vettori v e w sono perpendicolari tra loro quando v · w = 0

Basi ortonormali

Due vettori e1 ed e2 si dicono basi oronormali quando sono perpendicolari, cioè e1 · e2 = 0, e hanno modulo unitario, cioè |e1| = |e2| = 1.
In questo caso per ogni altro vettore v si avrà v = xe1 + ye2 .

Versori e coordinate

Se e1 ed e2 formano una base ortonormale,
v è un vettore unitario che forma un angolo a con e1, allora:
v = cosae1 + sinae2
altrimenti in generale
v = |v|cosae1 + |v|sinae2

Somma e coordinate

Se e1 ed e2 formano una base ortonormale,
v = xe1 + ye2
w = x'e1 + y'e2
allora:
v + w = (x+x')e1 + (y+y')e2

inoltre per ogni k reale
kv = (kx)e1 + (ky)e2

Prodotto scalare e coordinate

Se e1 ed e2 formano una base ortonormale,
v = xe1 + ye2
w = x'e1 + y'e2
allora:
v · w = xx' + yy'.

pagine e figure in CabriJava a cura di Roberto Ricci Ultima revisione