Dopo aver esteso l'aritmetica dei punti reali ai punti del piano, come non pensare fare altrettanto per i punti dello spazio?! vederli come numeri dopo aver precisato costruzioni geometriche per effettuare l'addizione e la moltiplicazione in modo da estendere quelle sul piano complesso.

William Rowan Hamilton cercò per molto tempo di raggiungere lo scopo. Nel 1833 aveva analizzato completamente la struttura algebrica dei numeri complessi, pensandoli essenzialmente come coppie ordinate (a,b) di numeri reali. Scoprì infine che non era possibile ampliare tale struttura nello spazio tridimensionale, mentre invece lo era per uno spazio quadridimensionale: inventò così i quaternioni.

In forma algebrica un quaternione è a+ib+jc+kd essendo i, j e k punti dello spazio quadridimensionale con

i² = j² = k² = -1

i·j = k,    i·k = i,    k·i = j

j·i = -k,    k·j = -i,    i·k = -j

Artur Cayley mostrò che si può costruire un'analoga algebra anche nello spazio a 8 dimensioni, rinunciando tuttavia anche alla associatività per la moltiplicazione.

Hurwitz nel 1898 mostrò che queste strutture algebriche sono le uniche in cui moltiplicando un punto per le unità immaginarie si conserva il modulo.

Infine J.F. Adams dimostrò nel 1956 che solo in questi casi è possibile effettuare le divisioni per un qualsiasi numero non nullo.