In una circonferenza di centro O e raggio unitario si conduca una corda AB. Traccia le tangenti in A e B e indica con C, quando
possibile, la loro intersezione.
Determina l'area del quadrilatero ACBO in funzione della lunghezza AB esplicitando il campo d'esistenza di tale funzione.
Verifica che non è superiormente limitata.
Determina la funzione inversa.
Valuta quanto vale tale area al tendere di AB al diametro e poi verifica il risultato rifacendoti a un'appropriata definizione.
Posto
allora, per il teorema della corda,
quindi
Per verificare che la funzione
non è superiormente limitata consideriamo la disequazione
e mostriamo che ha soluzioni nell'intervallo ]0,2[ per qualunque numero reale M positivo.
Siccome
la disequazione è verificata, qualunque sia M, per qualche x del dominio.
La funzione inversa si ha quando l'equazione in x
ammette per sempre una sola soluzione nel dominio.
Essa equivale, per y>0 a
da cui
Così la funzione inversa ha espressione analitica:
Dire che AB tende al diametro è come dire che x tende a 2.
È chiaro che l'area tende a +¥
Per verificarlo partiamo dalla disequazione
e mostriamo che ha soluzioni per ogni x in un intervallo ]2-d,2[.
Abbiamo già visto che la disequazione equivale a
quindi l'obiettivo è raggiunto con
pagina di Roberto Ricci
L.S. "A. Righi", Bologna.
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