Correzione compito in classe

classe V, Ottobre 2007

Considera la funzione f(x)=ln(x) e la funzione g(x)=2sin2x - sinx.
  1. Studia dominio, segno e zeri della funzione f(g(x));
  2. analizza la rappresentazione grafica di g(x) e di f(g(x)) e riproducila riportando opportuni valori numerici;
  3. osserva le relazioni tra i due grafici, in particolare riguardo a dominio, segno, intersezioni, massimo e minimo;
  4. definisci i concetti di massimo e di minimo di una funzione;
  5. mostra che la funzione f(g(x)) non è inferiormente limitata;
  6. le due curve sembrano non intersecarsi: sai giustificare questa ipotesi oppure puoi confutarla? 
La funzione
	f(g(x)) = ln( 2sin2x - sinx)
ha campo d'esistenza per valori di x tali che
	2sin2x - sinx > 0
ovvero
	sinx(2sinx - 1)>0
ovvero
	sinx < 0    Ú    sinx > 1/2

ovvero
	


È positiva per valori di x tali che
	2sin2x - sinx > 1
ovvero
	2sin2x - sinx - 1 > 0
ovvero
	


ovvero
	

Gli zeri sono per
	








Il massimo di f(g(x)) si fa dove è massima g(x), che a sua volta ha massimo per 2y2-y,
con y=sinx, quindi per cioè y=–1, ovvero x=–p/2+2kp.

Il massimo ymax di una funzione è il massimo della sua immagine:
	ymax=f(xmax) ≥ f(x) "xÎDf
Il minimo ymax di una funzione è il minimo della sua immagine:
	ymin=f(xmin) ≤ f(x) "xÎDf
La funzione f(g(x) non ha minimo. Infatti non è inferiormente limitata in quanto la disequazione
	ln(2sin2x - sinx) < m
equivalente a
	2sin2x - sinx < em
che è equivalente a
	


e poiché
	


ha quindi soluzione per qualunque  m.
 
Le due funzioni sembrano non intersecarsi. A vedere i grafici sembra che
	ln(2sin2x - sinx) < 2sin2x - sinx.
Infatti in generale è evidente che
	ln(t) < t
pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione