Indicati con a e b i lati del foglio protocollo, 0<b£;a, e con x il lato del quadrato da asportare da ciascuno dei quattro angoli, con 0£x£b/2, il volume del parallelepipedo costruito mediante opportuni piegamenti č V = (a-2x)(b-2x)x, per 0£x£b£a Prima di derivare conviene espandere l'espressione analitica della funzione V = 4x3 - 2(a+b)x2 + abx Si ha allora V' = 12x2 - 4(a+b)x + ab e perciņ, posto e osservato che e che V'>0: |||||0=========x1_______a|||||x2||||||| x V : / \ max.rel.
Considerato infine che V(0)=V(b)=0 si puņ concludere che il massimo relativo č un massimo assoluto. Lo studio della derivata seconda V"= 24x - 4(a+b) positiva per x>(a+b)/6 suggerisce l'esistenza di un flesso obliquo nel caso che (a+b)/6<b/2, ovvero per a<2b. Se ad esempio b=21 cm e a=30.2 cm si ottiene il grafico in figura. Per x=4.1 cm il valore massimo del volume č VMAX= 1.155 l.
