Correzione compito in classe

classe V, Gennaio 2008

Un punto materiale si muove lungo una traiettoria rettilinea seguendo la legge oraria
x = t·e-t·(t-2)
  1. Disegna il diagramma orario;
  2. determina posizione, velocitā e accelerazione iniziale;
  3. determina dove il moto cambia verso e valuta in questi casi l'accelerazione;
  4. determina dove l'accelerazione č nulla e determina in questi casi la velocitā;
  5. determina in quali fasi il moto č accelerato e in quali č decelerato.
La legge oraria č una funzione con dominio, il tempo, solitamente
considerato positivo.
Per studiarne il grafico, il diagramma orario,
	x(0)=0
	x(t)=0  per t=0 e anche t=2
	

 
applicando De L'Hospital
	

 
applicando ancora De L'Hospital
	

 
Quindi l'asse delle ascisse č asintoto orizzontale.

	x'(t)=v(t)=(2t-2)e-t+(t2-2t)e-t(-1)=-(t2-4t+2)e-t
Gli zeri della derivata prima sono 

 
x'(t)>0  --------++++++++++----------------
x(t)               /              \                /
                      min.rel.          max.rel.
con 


Considerando i valori della funzione agli estremi dell'intervallo [0,+∞]
nel quale č considerata, il min. rel. č minimo assoluto e il max. rel. č massimo assoluto.
 
	x''(t)=a(t)=-( (2t-4)e-t +(t2-4t+2)e-t(-1))= (t2-6t+6)e-t
Gli zeri della derivata seconda sono 

 
x''(t)>0  ++++++++++----------------+++++++++++++
x(t)                   \/                    /\                  \/ 
                                    flesso            flesso
con 


con 



Posizione iniziale č x(0)=0, velocitā iniziale č x'(0)=-2 e accelerazione iniziale č x''(0)=6.

Il moto cambia verso quando la velocitā cambia segno, nel nostro caso x≈-0.46 e poi x≈0.16.
Qui l'accelerazione vale rispettivamente x''(2-√2)≈1.57  e  x''(2+√2)≈-0.09.

L'accelerazione č nulla per t=3-√3  e  t=3+√3 dove x(3-√3)≈-0.26 e x(3+√3)≈0.11
e la velocitā č x'(3-√3)≈0.41 e x'(3+√3)≈-0.05.

Il moto č accelerato dove velocitā e accelerazione hanno lo stesso segno, altrimenti decelerato. Quindi
tra 0 e 2-√2 č decelerato
tra 2-√2 e 3-√3 č accelerato
tra 3-√3 e 2+√2 č decelerato
tra 2+√2 e 3-√3 č accelerato
oltre 3-√3 č decelerato.

pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione