Considera l'equazione x2-(3a2-2a)x-(a2+4)=0.
Mostra che ha soluzione per qualunque valore reale del parametro a.
Dette x1 e x2 le soluzioni di tale equazione studia la funzione
Studia la funzione. Spiega perchè nell'intervallo [-1,1] non si puà applicare il teorema di Lagrange.
Mostra che per a>2 la funzione è invertibile e determina (f-1)'(2).
Si sa che un trinomio di secondo grado x2+a·x+b si può fattorizzare
in (x-x1)(x-x2) se ha zeri x1 e x2 e così
x1 + x2 = –a
e
x1 · x2 = b.
La condizione di esistenza dei due zeri, distinti o coincidenti, è Δ≥0,
cioè, nel nostro caso,
(3a2-2a)2+4(a2+4)≥0
verificata per qualunque valore di a visto che i due addendi sono non negativi.
La funzione è dunque:
Conviene studiare la funzione g(a) argomento del valore assoluto.
Il grafico di f(a) si ottiene ribaltando intorno all'asse x la
parte del grafico della funzione argomento con ordinata negativa
e conservando la parte con ordinata positiva.
La funzione g(a), definita per qualunque valore di a perché è
algebrica fratta con denominatore sempre positivo, è né pari né
dispari dal momento che g(-1)=1 mentre g(1)=1/5.
Si ha
g(0)=0
e
g(a)=0 se e solo se a=0 o anche a=2/3.
La funzione g è positiva quando lo è il numeratore, cioè per
valori esterni all'intervallo [0,2/3]
Inoltre
e quindi la retta y=3 è asintoto orizzontale.
Studiamo la derivata prima:
che si annulla in
g'(a)>0 ++++++++---------------++++++++++
g(a) / \ /
max.rel. min.rel.
dove
Il massimo relativo è anche massimo assoluto dal momento
che la funzione tende a 3 quando a tende a ± ∞: Il
minimo relativo è anche minimo assoluto.
Dal momento che il massimo è sopra all'asintoto
orizzontale, ci sarà intersezione tra il grafico e tale retta:
La derivata seconda:
non è facile da analizzare. Comunque è chiaro ci sarà un
flesso obliquo.
Il grafico di f ha perciò l'andamento riportato in figura.
Siccome nel punto a=0 la f non è derivabile, allora
non è possibile applicare il teorema di Lagrange.
Siccome la f è crescente per a>2/3, sarà anche invertibile.
e
pagina di Roberto Ricci
L.S. "A. Righi", Bologna.
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