Correzione compito in classe

classe V, Aprile 2005

Determina l'equazione della parabola Γ passante per O(0,0), per A(1,2) e avente pendeza 1 in A. Disegna Γ. Determina l'equazione dell'iperbole equilatera Γ' con un asintoto coincidente con l'asse y, passante per A e qui perpendicolare a Γ. Disegna Γ'. Calcola l'area della figura delimitata dalle due curve. Calcola anche il perimetro di tale figura facendo uso della calcolatrice grafico simbolica.
La forma dell'equazione della parabola è

		y = a·x2+b·x+c

o meglio, poiché Γ passa per O:

		y = a·x·(x – x0)

essendo x0 l'ascissa dell'altro punto intersezione, oltre a O, di Γ con l'asse x.
Il sistema 
	


in cui la prima equazione rappresenta il passaggio di Γ per A mentre la seconda 
esprime il fatto che la pendenza di Γ in A è 1, permette di ricavare i parametri a e x0.
Si ottiene facilmente  a=–1  e x0=3 per cui

	Γ:  y= –x(x-3)

La forma dell'equazione dell'iperbole è

		y = k/x + c

cioè quella di un'iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti traslata lungo l'asse y.
Essendo y' = –1/x2 la pendenza di Γ', il sistema 
	


permette di ricavare i parametri k e c. Si ottiene facilmente  k=1  e c=1 per cui

	Γ':  y= 1/x + 1

Gli altri punti intersezione oltre ad A si determinano risolvendo 
l'equazione
		–x2 + 3x = 1/x + 1
ovvero
		x3 – 3x2 + x + 1 = 0
o meglio, sapendo che Γ e Γ' hanno in comune un
punto di ascissa 1, cioè sapendo che il polinomio è divisibile 
per x –1:
		(x2 – 2x – 1)·(x – 1) = 0
e perciò 
		x2 – 2x – 1 = 0
ci fornisce le ascisse degli altri due punti intersezione.
Si ricava
		x1,2 = 1 ± Ö(2)
L'area della zona delimitata dalle due curve si ottiene dunque risolvendo l'integrale
		


che vale:
		


Il risultato è  1+Ö(2)/3-ln(1+Ö(2)) @ 0.59.

Il perimetro della zona delimitata dalle due curve si ottiene invece calcolando l'integrale
		


Con una calcolatrice grafico simbolica si ottiene circa 3.42.



pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione