Correzione compito in classe

classe V, Settembre 2005

Una variabile aleatoria assume valori interi non negativi e p(X=k)=p(1–p)k, essendo p un parametro tra 0 e 1.
  1. Spiegare perché X è effetivamente una variabile aleatoria.
  2. Fornire una descrizione grafica della legge di distribuzione.
  3. Verificare che p(X=k)>pk ha soluzioni in k solo se p<0.5 e che in tal caso si ha soluzione
  4. Verificare che p(X≥k+h | X≥k) = (1–p)h
  1. X è effetivamente una variabile aleatoria dal momento che
    	
    	p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) + p(X=3) + ...  = p + p(1–p) + p(1–p)2 + p(1–p)3 + ... =
    	= p·(1 + (1–p) + (1–p)2 + (1–p)3 + ...) = 
    
    essendo il secondo fattore la somma di una progressione geometrica
    	
    
     
    
  2. Una descrizione grafica della legge di distribuzione si ottiene a partire dalla
    funzione esponenziale  (1–p)x mediante una contrazione di fattore p
    nella direzione y. Ad esempio per p=1/3:
    
    Ad esempio per p=3/5:
    
  3. 	p(1–p)k > pk
    equivale a
    	
    
    	
    quindi
    	
    
    	
    ovvero
    	
    
    	
    Se log(1-p) > log p , cioè se p<1/2,
    	
    
    	
    altrimenti
    	
    
    	
    che è impossibile per k non negativo come nel nostro caso.
    
  4. 	p(X≥k+h | X≥k)
    significa
    	
    
    	
    	
    
    	
    
    
    

pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione