Correzione compito in classe

classe IV, saldo del debito 2005

Disegna la curva di equazione
  1. Verifica che è il luogo dei punti equidistanti dalla retta r: x =–1/4 e dal punto A(0,1/4)
  2. Verifica che O(0,0) e B(0,1/2) sono gli due unici punti della curva simmetrici rispetto ad A
  3. Determina l'area della parte di piano delimitata da r e dalle due rette tangenti alla curva nei punti O e B
L'equazione è quella di una conica. 
Scritta come
	x=2y2–y
è evidentemente una parabola con asse 
parallelo a quello delle x, che intercetta 
l'asse delle y nei punti  (0,0) e (0,1/2).
Quindi y=1/4 è l'equazione dell'asse di 
simmetria e il vertice avrà coordinate 
(2·1/16–1/4,1/4) cioè V(–1/8,1/4).
Siccome la prima coordinata del fuoco, che sta sull'asse della parabola, si ottiene aggiungendo all'ascissa del vertice 1/(4a)
	F(–1/8+1/8,1/4)=(0,1/4)ºA
La direttrice ha invece equazione
	d: x = –1/8–1/8
ovvero
	d: x = –1/4
Poiché FºA e dºr è chiaro che i punti della parabola sono equidistanti da A e da r.

I punti della parabola si possono descrivere con P(2y2–y,y).
Una simmetria rispetto ad A ha equazioni
	


Il punto simmetrico di P rispetto a A sarà quindi P'(–2y2+y,1/2–y).
P' starà dunque sulla parabola quando
	–2y2+y = 2(1/2–y)2–(1/2–y)
ovvero
	2y = 2(1/2–y)–1
da cui
	y = 0.

L'equazione della retta tangente in O alla parabola 
si può ricavare ad esempio con la formula
	(x+0)/2=2y·0–(y+0)/2
da cui 
	y = –x.
Per simmetria
	y = x + 1/2
è l'equazione della retta tangente in B alla parabola.
Il punto in comune tra le due rette, sull'asse di 
simmetria della parabola, ha ascissa tale che
	–x = x + 1/2
da cui
	x = –1/4.
L'area richiesta è l'area di un triangolo senza l'area di un segmento parabolico:
	(1/2·1/4)/2 – 3/4·(1/2·1/8) =
	= 1/16·(1 – 3/4) = 1/64

pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione