Abbiamo 10 matite di dieci colori diversi da sistemare in 20 cassetti di una cassettiera; in ognuno dei seguenti casi, determinare il numero delle possibili sistemazioni:
una matita per ognuno dei primi 10 cassetti;
due matite per ognuno dei primi 5 cassetti;
al massimo una matita per cassetto;
esattamente cinque nel primo cassetto;
tutte le matite nel quarto e nel quindicesimo cassetto;
tutte le matite nel primo, nel secondo e nell’ultimo cassetto;
tutte le matite in due cassetti qualsiasi;
tutte le matite in tre cassetti qualsiasi;
esattamente due matite in cinque cassetti qualsiasi.
Nel primo cassetto posso scegliere tra dieci matite, poi tra le nove rimanenti posso scegliere quale inserire nel secondo cassetto,
otto nel terzo, e così via, per un totale di 10·9·8·7·...·3·2·1 = 10! = 3 628 800 diversi modi.
Nel primo cassetto posso scegliere tra C10,2 coppie diverse, poi tra le rimanenti C8,2posso scegliere quale inserire nel secondo cassetto, C6,2 nel terzo, e così via, per un totale di C10,2·C8,2·C6,2·C4,2·C2,2 = 113 400 diversi modi.
Si può scegliere in C20,10 modi diversi i cassetti da selezionare. Per ognuna di queste scelte di 10 cassetti le matite possono essere inserite in 10! modi diversi. In totale 10!·C20,10 = 670 442 572 800 modi diversi.
Si può rispondere anche pensando direttamente alle disposizioni D20,10 considerando che 20 sono i modi diversi di scegliere il cassetto dove inserire la prima matita, poi 19 i modi diversi di scegliere il cassetto dove inserire la seconda matita ...
Vi sono C10,5 modi diversi di scegliere quali cinque matite inserire nel primo cassetto. Il testo non specifica come sistemare le cinque rimenenti monete. Nel caso se ne possano mettere al più una nei rimenenti 19 cassetti, la risposta sarà C10,5·D19,5= 351 630 720.
Se invece le cinque monete rimanenti possono essere sistemate in modo qualunque nei cassetti, la prima delle rimanenti matite posso inserirla in uno dei 19 rimaneti cassetti, così anche la seconda, la terza, ... La risposta sarà allora C10,5·195= 623 976 948.
Con le dieci matite si possono formare C10,k sottoinsiemi di k elementi da inserire nel quarto cassetto, mentre le rimaneti 10-k finiranno nel quindicesimo cassetto. Poiché dovrà essere 010,1+C10,2+ .. +C10,9 = 210-2 = 1024 - 2 = 1022 modi diversi.
Si può anche rispondere considerando che i simboli a="quarto cassetto" e b="quindicesimo cassetto" danno origine a 210 disposizioni con ripetizione dalle quali escludere quelle senza uno dei due simboli, dal momento che nessuno dei due cassetti deve restare vuoto.
Conviene ragionare considerando che i simboli a="primo cassetto", b="secondo cassetto" e c="ultimo cassetto" danno origine a 310 disposizioni con ripetizione dalle quali escludere quelle con solo uno dei tre simboli e quelle senza uno dei tre simboli, dal momento che nessuno dei tre cassetti deve restare vuoto. In totale 310 - (C3,1·110+C3,2·210) = 55 974.
In generale kn - (Ck,1·1n+Ck,2·2n+ ...+Ck,k-1·(k-1)n) n matite in k cassetti.
Potendo scegliere in C20,2 modi diversi una coppia di cassetti, la risposta è C20,2·1022 = 194 180.
Potendo scegliere in C20,3 modi diversi una terna di cassetti, la risposta è C20,3·55 974 = 63 810 360 180.
A partire dalla risposta data alla seconda domanda, visto che C20,5 sono modi diversi una cinquina di cassetti, la risposta è C20,5·113 400 = 1 758 153 600.
pagina di Roberto Ricci
L.S. "A. Righi", Bologna.
Ultima revisione