Correzione compito in classe

classe IV, Novembre 2006

Considera la curva di equazione parametrica
  1. Mostra che si tratta di una conica e disegnala.
  2. Determina fuochi e direttrici.
  3. Determina la pendenza della curva nel punto P con t=p/2
  4. Interpretando l'equazione parametrica come la legge oraria di un moto curvilineo trova il modulo della velocità in P (ricorda che se s = A·cos(ω·t+j) è la legge oraria di un moto armonico allora v = –ωA·sin(ω·t+j) è la sua velocità nel tempo, e che in un moto curvilineo il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria) . 
    L'equazione parametrica si può anche scrivere

    



     
Si tratta dell'equazione parametrica di un'ellisse di 
centro C(0,1) e semiassi a=2 e b=1 essendo un caso 
particolare di

    



     
Più direttamente da

    



     
si può ottenere, per la proprietà fondamentale delle funzioni
sin e cos, l'equazione cartesiana:
	
    


    
che è per l'appunto quella dell'ellise descritta sopra.

    I fuochi sono i punti F(±c, 0) con 
	
 
nel riferimento costituito dagli assi di simmetria dell'ellisse.
Nel riferimento cartesiano dato evidentemente F(±c, 1).
In generale se (x0, y0) sono le coordinate del centro C 
della conica nel sistema xOy,  le equazioni della
traslazione di assi è:   X=x–x0 Ù Y=y–y0
ovvero  x=X+x0 Ù  y=Y+y0
Sempre nel riferimento costituito dagli assi di simmetria 
dell'ellisse, le equazioni delle direttrici sono.
	
 
Rispetto al sistema di riferimento dato le equazioni non 
cambiano:
	

Ricordando che la direttrice d associata a un fuoco F è tale 
che ipunti P della conica soddisfano la relazione 
	PF/dist(P,d)= costante
e che la direttrice è perpendicolare all'asse focale si può trovare
 il punto D(x,1) della direttrice a partire dalla relazione
	AF/AD= BF/BD
essendo A e D i vertici della conica sull'asse focale.
Dall'equazione 
	

si ottiene lo stesso risultato.

    Il punto della curva con parametro t=p/2
ha coordinate

    



     
Usando la formula dello sdoppiamento la tangente alla curva
in quel punto ha equazione:
	
    


    
ovvero
	
    


    
La pendenza della curva, che coincide con quella della tangente,
è dunque  –1/2.
    		 
    La velocità in P sarà la somma vettoriale delle componenti del vettore lungo le due direzioni x e y, lungo le quali il moto è
armonico 

    




    
Perciò il modulo della velocità 

    



    

    



    
per  t=p/2
    pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione