Correzione compito in classe

classe IV, marzo 2004

Un triangolo isoscele ABC ottusangolo è inscritto in una circonferenza di raggio r e ha il lato AB distante r/3 dal centro. Determinarne lunghezza dei lati e ampiezza degli angoli. Preso un punto P sull'arco AB non contenente C, indicare con x l'ampiezza dell'angolo ABP e descrivere come varia il perimetro del triangolo ABP. Ricavarne per quale x si ha il perimetro massimo.

La lunghezza di AB si ricava con il teorema di Pitagora:

Con γ è indicato l'angolo ottuso in C, con α l'angolo in A.
Indicato con θ l'ampiezza dell'angolo APB, sin(θ)=sin(γ), cos(θ)=–cos(γ), da cui θ=cos-1(1/3) @ 1.23096.
Perciò il perimetro:
f(x)=4Ö(2)r/3+2r·sin(x)+2r·sin(θ+x) essendo x variabile tra 0 (quando PºA) e π–cos-1(1/3) @ 1.91063 (quando PºB)
Ovvero, applicando una delle formule di prostaferesi:
f(x)=4Ö(2)r/3+2r·2sin(x+θ/2)cos(θ/2)
Quindi, poiché cos(θ/2)=Ö((1+cos(θ))/2)=Ö(2/3), si ottiene:
f(x)/(2r)=2Ö(2)/3(1+Ö(3)·sin(x+cos-1(1/3)/2)).
Il massimo valore del perimetro si ha quando
sin(x+cos-1(1/3)/2) = 1
ovvero f(x) = 4rÖ(2)/3(1+Ö(3))
per x=π/2 – cos-1(1/3)/2, a metà del campo di valori che costituiscono il dominio, come è facile capire per ragioni di simmetria guardando anche la figura nel suo variare.