Correzione compito in classe

a.



C.E.:  




Poiché      sin2x+2cos2x = 1+cos2x 
la prima disequazione è verificata per qualunque numero reale
Poiché      3sinx·cosx=3/2 · sin(2x) > 0  
la seconda disequazione è verificata per   2kπ<2x<π+2kπ
			    cioè per   kπ<x<π/2+kπ
Poiché      3sinx·cosx¹1 per  2x¹π/2+2kπ
			    cioè per  x¹π/4+kπ 
si ha, in conclusione, che la disequazione ha senso solo per
	kπ<x<π/2+kπ Ù x¹π/4+kπ
Studiamo dunque la disequazione



ovvero il segno di


Num >0 :
	sin2x+2cos2x > 3sinx·cosx
	ovvero, considerando che cos2x>0 sempre sul C.E.
	tg2x+2 > 3·tgx
	una disequazione di II grado in tgx
	tg2x – 3·tgx + 2 > 0
	equivalente a
	(tgx–2)(tgx–1) > 0
	verificata per
		 tgx<1 Ú tgx>2
	ovvero per
		 kπ < x  < π/4 + kπ Ú  arctg2+ kπ < x < π/2+kπ
Den > 0:
	3sinx·cosx > 1	
	cioè
	sin(2x) > 2/3
	verificato per 
		arcsin(2/3) + 2kπ < 2x < π – arcsin(2/3) + 2kπ
	cioè
		arcsin(2/3)/2 + kπ < x < π/2 – arcsin(2/3)/2 + kπ

In sintesi, considerato che tg(arcsin(2/3)/2)= (3–Ö(5))/2  < 1  
mentre  tg(π/2–arcsin(2/3)/2)= 2/(3–Ö(5))=(3+Ö(5))/2 > 2

	0			π/4				π/2
N>0    	==================___________===========
D>0    	___________======================________
N/D>0	___________=========___________====________
	
 	possiamo concludere che 
	arcsin(2/3)/2 + kπ < x < π/4 + kπ 
	Ú 
	arctg2+kπ < x < π/2 – arcsin(2/3)/2 + kπ  

b.




C.E.:  



che equivale, in sintesi, a
				0 ≤ x < 1/2
Studiamo dunque la disequazione, equivalente a



ovvero, posto  y=log2(1–2x),  la disequazione
	y – 4y + 2 ≥ 0
che è verificata per
	y ≤ 2 – Ö2  Ú  y ≥ 2+ Ö2
ovvero
	1–2x ≤ 22 – Ö2  Ú  1–2x ≥ 22 + Ö2
o meglio
	1/2–21 – Ö2 ≤ x   Ú   x ≤ 1/2–21 + Ö2
Tenendo conto del campo di esistenza e del fatto che 
	1/2–21 + Ö2 < 1/2–21 – Ö2 < 0,
si può concludere
	0 ≤ x < 1/2