Correzione compito in classe

classe IV, Giugno 2007

Un'urna contiene 30 palline bianche, 50 rosse e 20 verdi.
  1. Si estraggono due palline. Determina la probabilità che escano due palline dello stesso colore.
  2. Si estraggono tre palline. Determina la probabilità che escano almeno due palline dello stesso colore.
  3. Sapendo che delle tre palline estratte almeno due sono dello stesso colore, determina la probabilità che queste siano rosse.
  4. Considera il gioco seguente: il banco si fa pagare 35 per partecipare alla partita, estraendo una pallina a caso paga 85 se la pallina è verde, 55 se è bianca. Descrivi la variabile aleatoria "guadagni di un giocatore per una partita" e valuta se si tratta di un gioco equo, cioè con una vincita media nulla.
  5. Descrivi la variabile aleatoria "numero di vittorie in 20 partite" e determina il numero medio di vittorie e lo scarto quadratico medio. 
  1. Il numero dei sottinsiemi di due palline di uguale colore è
	C30,2 + C50,2 + C20,2 = 
I diversi casi, i sottoinsiemi possibili di due paline prese da un insieme di 100 è
	C100,2 = 
Quindi la probabilità dell'evento , calcolata come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili è 
	p=/ =  » 37% 

  2. Il numero dei sottinsiemi di tre palline di colore diverso BRV è 30·50·20.
Considerando le permutazioni
	3!· 30·50·20
La probabilità che siano tutte diverse è dunque
	p = 3!· 30·50·20/D100,2 
e quindi la probabilità che non siano tutte diverse, come dire almeno due dello stesso colore, è dunque
	p = 1 -3!· 30·50·20/D100,2 

  3. posto
	E="almeno due su tre dello stesso colore"
	F="almeno due rosse"
allora
	EÇF="almeno due rosse"
quindi
	p(F|E) = p(EÇF)/p(E) = p(F)/p(E).
Siccome gli eventi favorevoli a F sono quelli di tutte e tre le palline rosse
e anche quelli di due sole palline rosse e una terza non rossa, sono cioè in numero
	C50,3+C50,2·50
ecco che
	p(F|E)=

  4. Si ha a che fare una variabile aleatoria di tre valori

    

    
X


    

    valori:0-35=-3555-35=2085-35=50
    

    probabilità:






      

    
    		

    

    
Quindi 
	


Perciò il gioco non è equo, a favore del banco.

  5. Si ha a che fare una variabile aleatoria binomiale con p=1/2.

    

    
X


    

    valori:012...k...20
    

    probabilità:





...

...


      

    
    		

    

    
Quindi il valore medio è
	E(X) = n·p = 20/2 = 10
mentre lo scarto quadratico medio è
pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione