Considera le estrazioni con reinserimento da un sacchetto che contiene solo palline bianche o rosse. Mediamente occorre ripetere 5 estrazioni prima che esca una pallina rossa.
Qual è la probabilità che con una estrazione l'esito sia una pallina rossa?
Qual è la proporzione tra palline rosse e palline bianche?
Descrivi, anche graficamente, la distribuzione delle probabilità per la variabile aleatoria "numero di estrazioni che occorre ripetere prima che esca una pallina rossa".
Descrivi la probabilità di ottenere in generale k palline rosse effettuando 100 estrazioni.
E' possibile approssimare la distribuzione di probabilità della domanda precedente con la distribuzione di Poisson? Perché?
Qual è la probabilità di estrarre esattamente 1 pallina rossa su 5 estrazioni?.
Qual è la probabilità di estrarre esattamente 20 palline rosse con 100 estrazioni?.
Per una variabile aleatoria X a distribuzione geometrica con media λ=1/p
p(X=k) = p·(1–p)k-1 con k=1,2,3,....
o anche
In questo caso X="numero di estrazioni per ottenere la prima pallina rossa" con media λ=5
e quindi p=1/5=20%
p(X=k) = 0.2·0.8k-1 = 2.5·0.8k =
= 2.5·ek·ln0.8
con k=1,2,....
è riducibile a una funzione esponenziale
La variabile aleatoria Bn="numero di palline rosse in n estrazioni (con reinserimento)"
è una binomiale:
p(Bn=k) = Cn,k0.2k·(0.8)n-k con k=0,1,2,..n
E' possibile approssimare una binomiale con una poissoniana P
p(P=k) = (np)ke-np/k! con k=0,1,2,...
quando p<<1.
Nel nostro caso non è 1/5<<1 e quindi la precisione dell'approssimazione sarà relativa.
Ad esempio
p(B5=1) = 4.1·10-1
p(P=1) = 3.6·10-1
Ad esempio, ancora,
p(B100=5) = 1.5·10-5
p(P=5) = 5.5·10-5
pagina di Roberto Ricci
L.S. "A. Righi", Bologna.
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