Una semplice costruzione a partire dalla circonferenza di centro O
e raggio OA consiste nell'intersecare il diametro perpendicolare
ad OA con la circonferenza passante per A e di centro nel punto medio
M del raggio perpendicolare a OA. Detto K il punto intersezione, la
lunghezza di AK è quella del lato del pentagono regolare inscritto
nella circonferenza data.
Una dimostrazione della validità della costruzione può essere svolta
in due passi.
Innanzitutto, preso come unità il raggio della circonferenza data,
,
da cui
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In secondo luogo, osservando la figura a fianco e in particolare
che i tre angoli segnati hanno ampiezza 2π/5, si capisce che,
o anche,presa come unitaria la lunghezza di AB,
da cui
ovvero
da cui
e quindi
e anche
Si osserva in conclusione che
ovvero l'angolo al centro che insiste sulla corda AB è 2π/5, quindi
AB è proprio il lato del pentagono regolare inscritto.
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o meglio
il cui grafico può ricavarsi facilmente da tan(x) prima per traslazione
di π/2 in direzione x nel verso negativo, poi simmetria rispetto all'asse y,
poi dilatazione lungo l'asse y, infine traslazione in direzione y
nel verso negativo. Ecco un grafico in un sistema non monometrico:
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