Un insieme è infinito quando può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. In altri termini un insieme è infinito quando il tutto ha la stessa "numerosità" di una sua parte.
L'insieme dei naturali {1, 2, 3, ...} è in corrispondenza biunivoca, ad esempio, con l'insieme dei numeri pari {2, 4, 6, ...} e tale corrispondenza si può descrivere con l'espressione analitica y=2x. Ciò vuol dire che i pari sono "tanti quanti" tutti i numeri naturali. L'insieme dei naturali {1, 2, 3, ...} è in corrispondenza biunivoca, ad esempio, con l'insieme dei numeri più grandi di 1, cioè {2, 3, 4, ...}, e tale corrispondenza si può descrivere con l'espressione analitica y=x+1. Ciò vuol dire ancora che i numeri naturali sono "numerosi" quanto una parte propria. Questa proprietà contraddistingue gli insiemi infiniti. L'insieme degli insetti è evidentemente finito: ciascun insetto occupa un volume che è una porzione, per quanto piccola, del volume dello spazio terrestre che, per quanto grande, è limitato. Il limite al numero di insetti è dato dal rapporto tra questi due volumi: un numero assai grande. Riferendoci alla nostra definizione di insieme infinito possiamo fare questa considerazione: indicato con i un particolare insetto, è evidentemente impossibile mettere in corrispondenza biunivoca I e I{i}, ovvero formare accoppiamenti (x,y) con xÎI e yÎI{i} che esauriscano i due insiemi.
La definizione è equivalente. Se A{a}, cioè A tolto un suo elemento a, è infinito, evidentemente anche A lo sarà. Infatti se A{a} ha la stesso numerosità di una sua parte B, A avrà la stessa numerosità di B U {a}. Viceversa se A è infinito, cioè se A ha la stesso numerosità di una sua parte B, A{a} avrà la stessa numerosità di B{a}.
L'insieme R è infinito, contenendo un insieme infinito, quello dei numeri naturali. Comunque R può essere messo in corrispondenza biunivoca ad esempio con l'intervallo ]0,1[, come indicato nella seguente figura. Tuttavia N non può esser messo in corrispondenza biunivoca nemmeno con l'intervallo di numeri reali ]0,1[. Infatti in qualunque modo pensassimo di costruire una tale corrispondenza, in altre parole un elenco di numeri tra 0 e 1, avrebbe la forma seguente: 0.c1,1c1,2c1,3 ... 0.c2,1c2,2c2,3 ... 0.c3,1c3,2c3,3 ... ... dove le c sono le cifre decimali. Ma allora scegliendo le cifre b1 ¹ c1,1, b2 ¹ c2,2, b3 ¹ c3,3, ... siamo in grado di mostrare un numero non compreso nell'elenco, qualunque esso sia.
Siccome nessun insieme A può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme P(A) delle sue parti, esisteranno infiniti infiniti diversi, ad esempio come N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), ...