Correzione compito in classe

classe III, Ottobre 2006

Scrivi una definizione di "insieme infinito". Applicala per decidere se gli insiemi I={insetti presenti sulla terra} e N dei numeri naturali sono infiniti. Spiega se e perché la seguente definizione è equivalente: «Un insieme A è infinito quando ha almeno un elemento a e l'insieme A—{a} è infinito». Spiega perché l'insieme N e l'insieme R dei numeri reali, entrambi infiniti, sono infiniti di tipo diverso. Spiega se e perché si può dire che ci sono infiniti tipi di infiniti diversi.
  1. Un insieme è infinito quando può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme
    proprio. In altri termini un insieme è infinito quando il tutto ha la stessa "numerosità" di una 
    sua parte. 
    
  2. L'insieme dei naturali {1, 2, 3, ...} è in corrispondenza biunivoca, ad esempio, con 
    l'insieme dei numeri pari {2, 4, 6, ...} e tale corrispondenza si può descrivere con 
    l'espressione analitica y=2x. Ciò vuol dire che i pari sono "tanti quanti" tutti i 
    numeri naturali.
    L'insieme dei naturali {1, 2, 3, ...} è in corrispondenza biunivoca, ad esempio, con 
    l'insieme dei numeri più grandi di 1, cioè  {2, 3, 4, ...},  e tale corrispondenza si può 
    descrivere con l'espressione analitica y=x+1. Ciò vuol dire ancora che i numeri naturali
    sono "numerosi" quanto una parte propria.
    Questa proprietà contraddistingue gli insiemi infiniti.
    
    L'insieme degli insetti è evidentemente finito: ciascun insetto occupa un volume che è
    una porzione, per quanto piccola, del volume dello spazio terrestre che, per quanto 
    grande, è limitato. Il limite al numero di insetti è dato dal rapporto tra questi due 
    volumi: un numero assai grande.
    Riferendoci alla nostra definizione di insieme infinito possiamo fare questa considerazione:
    indicato con i un particolare insetto, è evidentemente impossibile mettere in corrispondenza
    biunivoca I e I—{i}, ovvero formare accoppiamenti (x,y) con xÎI e yÎI—{i} che 
    esauriscano i due insiemi.
    
  3. La definizione è equivalente. Se A—{a}, cioè A tolto un suo elemento a, è infinito, evidentemente 
    anche A lo sarà. Infatti se A—{a} ha la stesso numerosità di una sua parte B, A avrà la stessa 
    numerosità di B U {a}. Viceversa se A è infinito, cioè se A ha la stesso numerosità di una sua parte B, 
    A—{a} avrà la stessa numerosità di B—{a}.
    
  4. L'insieme R è infinito, contenendo un insieme infinito, quello dei numeri naturali.
    Comunque R può essere messo in corrispondenza biunivoca ad esempio con l'intervallo ]0,1[,
    come indicato nella seguente figura.
    
    

    Tuttavia N non può esser messo in corrispondenza biunivoca nemmeno con l'intervallo di numeri reali ]0,1[. Infatti in qualunque modo pensassimo di costruire una tale corrispondenza, in altre parole un elenco di numeri tra 0 e 1, avrebbe la forma seguente: 0.c1,1c1,2c1,3 ... 0.c2,1c2,2c2,3 ... 0.c3,1c3,2c3,3 ... ... dove le c sono le cifre decimali. Ma allora scegliendo le cifre b1 ¹ c1,1, b2 ¹ c2,2, b3 ¹ c3,3, ... siamo in grado di mostrare un numero non compreso nell'elenco, qualunque esso sia.
  5. Siccome nessun insieme A  può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme P(A) delle 
    sue parti, esisteranno infiniti infiniti diversi, ad esempio come
        		N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), ...
    

pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione