Correzione compito in classe

classe III, Maggio 2007

Si estraggono a caso due numeri reali a e b tra -1 e 1. Determina la probabilità che
  1. |a+b| < 0.5;
  2. |a| + |b| < 0.5;
  3. a2 + b2 < 0.5;
  4. a2 + b < 0.5;
  5. 2·a2 + b2 < 0.5.
Possiamo rappresentare l'insieme delle coppie ordinate (a,b) 
nel piano cartesiano come un quadrato di vertici (1,1), (-1,1), 
(-1,-1) e (1,-1).
Il sottoinsieme degli (a,b) tali che |a+b| < 0.5, cioè
	


dove
	a+b ≥ 0 
è il semipiano di bordo b=-a e contenente il punto (1,1)
dove
	a+b < 0.5 
è il semipiano di bordo a+b = 0.5 e contenente il punto (0,0)
dove
	a+b > -0.5 
è il semipiano di bordo a+b = -0.5 e contenente il punto (0,0)
L'area della figura è dunque quella del quadrato senza i due
mezzi quadrati di lato 3/2, quindi la probabilità richiesta è
	


Il sottoinsieme degli (a,b) tali che |a|+|b| < 0.5, cioè
	


dove
	a+b < 0.5 
è il semipiano di bordo a+b = 0.5 e contenente il punto (0,0)
ecc...
La figura è inoltre simmetrica rispetto agli assi coordinati e
anche rispetto alle bisettrici dei quadranti (scambiando a e b
tra loro l'insieme delle soluzioni della disequazione, quindi 
la figura, non cambia)
L'area della figura è dunque quella del quadrato di diagonale 1.
La probabilità richiesta è dunque
	


Il sottoinsieme degli (a,b) tali che a2+b2 < 0.5
è un cerchio di centro O(0,0) e raggio
	


La probabilità richiesta è dunque
	


Il sottoinsieme degli (a,b) tali che a2 + b < 0.5
ovvero
	b < 0.5 - a2
contiene il punto O(0,0) ed è delimitato dalla parabola 
con asse coincidente con l'asse y, vertice (0, 0.5) e 
concavità verso il basso, passante per i punti
	(-1, -0.5)  e (1, -0.5)
L'area della figura è quella di un segmento parabolico
	


e di un rettangolo di lati 2 e 0.5.
La probabilità richiesta è dunque
	


Il sottoinsieme degli (a,b) tali che 2·a2 + b2 < 0.5
è formato dai punti interni all'ellisse di equazione
	


la cui area è
	


La probabilità richiesta è dunque
	



pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione