Correzione compito in classe

classe III, Maggio 2007

Considera la funzione omografica y=f(x) definita su R—{1} a valori su R—{2} e tale che f(0)=0.
  1. Scrivine l'espressione analitica;
  2. disegnane il grafico γ ;
  3. scrivi le equazioni degli assi di simmetria e le coordinate dei vertici e dei fuochi;
  4. determina le coordinate del punto O' simmetrico di O(0,0) rispetto al centro di γ, le due tangenti alla curva in O e O' e la distanza tra queste due rette;
  5. determina le rette tangenti alla curva che formano con gli assi coordinati triangoli di area unitaria. 
Una funzione omografica ha la forma
	

 
o anche, semplificando
	

 
non essendo definita per x=1 e dovendo avere asintoto y=2
	

 
Poiché f(0)=0
	


per cui
	

 

Le equazioni della simmetria di centro C(1,2), il centro di simmetria di γ, sono
	

 
da cui
	O'(2,4) 
La curva ha anche equazione
	xy - 2x - y = 0
così, con il metodo di sdoppiamento, la tangente in O a γ ha equazione
	

 
cioè
	t: 	2x + y = 0
L'altra tangente ha, per simmetria, equazione
	2(2-x') + (4-y')=0
ovvero
	t':	2x + y + 8 = 0 
La distanza tra le due rette è il doppio della distanza di C da t
	



Un punto generico della curva γ ha coordinate
	

 
L'equazione della retta tangente in T
	

 
ovvero
	

 
ovvero, in forma segmentaria,
	

 
L'area del triangolo formato da questa retta e dagli assi 
coordinati è  metà di
	

 
dunque quelli di area unitaria si hanno per
	

 
ovvero
	

 
Si trova
pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione