Correzione compito in classe

classe III, Maggio 2007

Bisogna sistemare 12 persone in 3 automobili. Quante sono le possibili distribuzioni nei seguenti casi?
  1. Un’auto porta 5 persone, un’altra ne porta 4 e la terza 3.
  2. Due auto portano 5 persone e una ne porta 2.
  3. Ogni auto porta 4 persone.
  4. Ogni auto porta 4 persone ma le prime due persone non vogliono stare insieme nella stessa auto.

 

  1. C12,5= è il numero di modi diversi di sistemare 5 delle dodici
    persone nella  macchina da 5 posti, ovvero il numero di diversi sottinsiemi di 
    5 persone scelte tra 12. Per ognuno di questi modi vi sono C7,4=  
    modi diversi di sistemare 4 delle sette persone rimanenti nella macchina da 4 posti, 
    ovvero il numero di diversi sottinsiemi di 4 persone scelte tra le 7 restanti, infine un 
    solo modo di sistemare le tre persone rimenenti nella  macchina da tre posti.
    In totale ·= modi diversi.
    
    Se però intendiamo considerare anche in che modo potrebbero occupare le tre diverse macchine, nell'ipotesi
    che tutte e tre possano accogliere gruppi diversamente numerosi, occorre moltiplicare il precedente risultato
    per il numero 3! di permutazioni  delle tre macchine.
    
  2. C12,5= è il numero di diversi sottinsiemi di 5 delle dodici persone da sistemare 
    in una macchina da 5 posti, C7,5= è il numero di diversi sottinsiemi di 5 delle 
    sette persone rimanenti da sistemare nell'altra macchina da 5 posti, infine un solo 
    modo di sistemare le due persone rimenenti.
    In totale, se non diamo importanza all'ordine in cui sono occupate le due macchine 
    da 5 posti, ·/2!= modi diversi.
    
    Se però  sono distinguibili la prima dalla seconda macchina da 5 posti, i modi diversi
    sono  ·=
    
    Se però intendiamo considerare anche in che modo potrebbero occupare le tre diverse macchine, nell'ipotesi
    che tutte e tre possano accogliere i diversi numeri di gruppi, occorre moltiplicare il precedente risultato
    per il numero di permutazioni 3! delle tre macchine.
    
  3. C12,4= è il numero di diversi sottinsiemi di 4 delle dodici persone da sistemare in una macchina, 
    C8,4= è il numero di diversi sottinsiemi di 4 delle otto persone rimanenti da sistemare in un'altra macchina, 
    infine un solo modo di sistemare le quattro persone rimenenti nell'ultima macchina.
    In totale, non interessando in quale macchina saranno sistemati, vi sono
     	·/3!= modi diversi.
    
    Se però le tre macchine sono distinguibili e vogliamo tenere conto anche dell'ordine in cui vengono sistemati
    gli occupanti, i modi diversi sono  
    	·=
    
  4. 1° modo:
    Sistemiamo innanzitutto le due persone: una in un auto e l'altra in un'altra auto.
    Restano da occupare con le 10 rimanenti persone un'auto con quattro posti  e due auto 
    con tre posti, queste due distinguibili da chi già le occupa.
    C10,4·C6,3=·=  
    è dunque il numero di modi diversi di sistemare le dieci persone nelle tre macchine.
    
    2° modo:
    Sistemiamo innanzitutto le 10 persone: quattro in un auto, tre in un'altra, tre nell'ultima.
    Vi sono C10,4·C6,3/2!=·/2!= modi.
    In totale, poiché ora le due persone possono essere sistemate in due modi diversi nelle auto 
    già occupate da tre persone, vi sono ·2= modi diversi.
    
    3° modo:
    Consideriamo  il numero di possibili distribuzioni in insiemi di quattro: ·/3!=.
    Sottraiamo a questi il numero di possibili distribuzioni in insiemi di quattro nelle quali 1a e 2a persona finiscono insieme,
    ovvero dieci persone vanno in due sottinsiemi da 4 e uno da 2 al quale si aggiungono 1a e 2a insieme:
    	·/2!=
    In totale:
    	 = 
    

pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione