Per m=1 si ha y=x+4, una retta. Per il rapporto tra binomio a numeratore e binomio a denominatore è una costante. Ciò per m2 = (m+3)(m-1) ovvero 0 = 2m -3 ovvero m = 3/2 In questo caso si ha la retta y=3
Per m=0 si ha y=-3/x. Il grafico è un'iperbole equilatera con asintoti coincidenti con gli assi coordinati e i vertici V(v,-v) con v2=3
Possiamo interesecare una particolare curva della famiglia con tutte le altre Allora ovvero -3(m-1)x-3m = mx2 + (m+3)x da cui mx2 + (m+3+3m-3)x +3m=0 ovvero m(x2 +4x +3)=0 Indipendentemente da m si hanno le soluzioni x=-3, x=-1, cioè i punti A(-3,1) e B(-1,3) sono comuni.
Il centro di ciascuna iperbole è Le equazioni parametriche del luogo geometrico formato da tali centri la cui equazione parametrica è evidentemente y = -x
La condizione legata all'asintoto orizzontale è da cui m=2. L' equazione della iperbole è dunque con asintoto verticale x = -2
La parabola, con asse parallelo all'asse y, ha equazione y = ax2 + bx. La condizione di passaggio per B(-1,3) impone che 3 = a - b da cui b = a-3. L'equazione è ora y = ax\frac{y+3}{2} + (a-3)x. Con il metoodo di sdoppiamento, la tangente in B alla parabola è ovvero (a+3)x+y+a=0 Con lo stesso metodo la tangente in B alla iperbole, di equazione xy-2x+2y-5=0, è ovvero x+y-2=0 Volendo che siano coincidenti le due rette a+3=1 e a=-2 e così lò'equazione della parabola diventa y=-2x2-5x