Correzione compito in classe

classe III, Gennaio 2007

Si consideri il dominio costituito dai punti che risolvono il sistema
Determina per quali di questi punti ha massimo la funzione f(x,y)=x+y+1.
La disequazione 
	
diventa, sostituendo il valore assoluto con due casi,
La circonferenza x2+y2 –4x+y–2 = 0 ha centro (2,–1/2) e i raggio 5/2. La disequazione x2+y2 –4x+y–2 ≤ 0 rappresenta il cerchio con tale circonferenza. La circonferenza x2+y2 –4x–5y+4 = 0 ha centro (2,–5/2) e i raggio 5/2. La disequazione x2+y2 –4x–5y+4 ≤ 0 rappresenta il cerchio con tale circonferenza. Così la disequazione iniziale rappresenta la parte evidenziata in figura.
La disequazione  x+2y–2 ≥ 0
rappresenta il semipiano di bordo
	
 
cioè una retta per i punti (2,0) e (0,1), non contenente
il punto O(0,0) poiché  0+2·0–2 ≥ 0  è falsa.

La funzione f(x+y)=x+y+1 è associabile alle rette del fascio
	x+y+1=k
rappresentato in particolare per k=2 dalla retta
	x+y=1
e al crescere di k si allontanano da O nel verso di x e y 
positivi.
Dunque il valore massimo di k, cioè di f(x,y), compatibilmente
con il dominio dato, si ha in corrispondenza della tangente 
alla circonferenza di equazione  x2+y2 –4x+y–2 = 0,
cioè della retta del fascio che dista dal centro (2,–1/2) 
quanto il raggio,  5/2.
	|2-1/2+1-k| = 5Ö2/2
	k-5/2 = ±5Ö2/2
	k = 5/2±5Ö2/2
Quindi 
	Max = 5(1+Ö2)/2


pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione