Correzione compito in classe

classe III, Febbraio 2006

Disegna la circonferenza di equazione 4x2+4y2–4y–8=0. Scrivi le equazioni delle sue rette tangenti r ed s condotte dal punto (0,3) e la tangente t nel suo punto di ordinata –1. Scrivi le equazioni delle circonferenze simmetriche di quella data rispetto a queste tangenti. Determina l'area della intersezione tra il triangolo formato dai centri di queste ultime tre circonferenze e il triangolo che ha per lati le tre tangenti r, s e t. 
Con il metodo del completamento 
applicato all'equazione 
"normalizzata"
	
 
	
 
	
 
La circonferenza ha dunque centro 
(0, 1/2) e raggio 3/2. 
Dunque interseca l'asse y nei punti 
(0,–1) e (0,2).
Le tangenti dal punto (0,3) saranno, 
tra quelle di equazione
	y=m·x+3,
quelle che distano 3/2 da (0,1/2):
	
 
ovvero
	(5)2=9·(m2+1)
da cui
	9m2=16
cioè
	m = ±4/3

Il punto di contatto tra la tangente di pendenza 
negativa e la circonferenza sarà intersezione 
con il raggio perpendicolare a quella tangente: 
	

 
da cui 
	

 
I centri delle circonferenze simmetriche sono 
dunque
  (2·6/5,2·7/5–1/2), (–2·6/5,2·7/5–1/2), 
	(–5/2,0) 
e le equazioni delle circonferenze
	(x–12/5)2 + (y–23/10)2 = (3/2)2
	(x+12/5)2 + (y–23/5)2 = (3/2)2
	x2 + (y+5/2)2 = (3/2)2

La figura formata dai punti interni ai due 
triangoli è un esagono di vertici
	( ±3(23/10–3)/4 ,23/10 ) = 
	= ( ±21/40,23/10 )
	( ±3(23/10–3)/4 ,23/10 ) = 
	= ( ±21/40,23/10 )
poi il punto soluzione di
	

 
da cui 
	

 
e quindi anche (–33/10,4/5) e il punto 
soluzione di
	

 
da cui 
	(3/4, –1) ma anche (–3/4,–1)

L'area dell'esagono si può ottenere sottraendo a quella del tiangolo formato dai 
centri delle circonferenze la punta in basso e le due punte rimanenti. Così 
	(23/10+5/2)·12/5 – 3/2·3/4 – (12/5–21/40)·(23/10–4/5) =
	= 48/10·12/5 – 9/8 – 75/40·15/10 = 
	= 48·6/25 – 9/8 – 45/16 =
	= 288/25 – 63/16 =
	= 3033/400
pagina di Roberto Ricci L.S. "A. Righi", Bologna. Ultima revisione