Contro le tavole di verità

1. Argomenti di logica matematica sono stati introdotti in qualunque sperimentazione di nuovi programmi per la matematica nelle scuole secondarie superiori di ogni tipo,. Anche coloro che praticano i programmi tradizionali attendono questa novità, sentita in certi casi come minaccioso destino. Nei libri di testo in circolazione non manca il capitolo della logica, sovente posto all'inizio del volume, "quasi che la logica sia premessa indispensabile..." tanto per citare proprio dai nuovi programmi del progetto Brocca come non andrebbe concepito l'insegnamento della logica.

Nelle università italiane, nelle facoltà che consentono di accedere all'insegnamento della matematica, i corsi di logica sono opzionali e, almeno fino a un ventennio fa, non molto scelti . Dunque le conoscenze di logica matematica, delle sue radici e della sua evoluzione anche in un'ottica interdisciplinare, sono, da parte degli insegnanti, scarse o prevalentemente frutto di autoaggiornamento. Chi svolge con senso del dovere il suo impiego pur tra le magre soddisfazioni ha, della logica, conoscenze frutto di studi effettuati per lo più sui nuovi libri di testo forniti in copia saggio dalle case editrici e conseguenza degli stimoli ricevuti in corsi di aggiornamento come il PNI, convegni o articoli su riviste di didattica.

Il primo passo che viene compiuto è lo studio della logica degli enunciati. Purtroppo questo è spesso anche l'ultimo passo e così la logica matematica viene identificata con tale paragrafo della logica matematica. Inoltre, poiché la logica degli enunciati viene universalmente introdotta insieme alle tavole di verità ecco, infine, che la logica finisce per coincidere con il calcolo basato su quelle tavole. Probabilmente l'unico risultato positivo raggiunto in questo modo è di mostrare che la matematica non si occupa solamente di calcoli numerici in senso stretto, e che la logica è riconducibile all'algebra. Così l'idea acquisita e trasmessa della logica è davvero troppo riduttiva e inutile per migliorare le capacità logiche degli studenti. Anche per questo, dopo le prime sperimentazioni, i dubbi legati all'introduzione della logica nella scuola secondaria superiore si sono moltiplicati (R.Ferro, Relazione conv. UMI '92, C.Marchini, 'Logica proposizionale nella scuola' in La Matematica e la sua Didattica, MagAgo'89)

Nelle occasioni in cui mi capita di tenere aggiornamenti posso rendermi conto delle difficoltà che s'incontrano già a partire delle definizioni di proposizione, o di quelle legate all'introduzione del connettivo di implicazione materiale, della differenza fra questo connettivo e le relazioni di conseguenza logica o di deduzione (saper distinguere chiaramente tra queste due relazioni è, bisogna ammettere, cosa di non poco conto; ciò poiché nella stessa storia della logica matematica tale distinzione è relativamente recente e nella letteratura corrente sono disomogenee sia le presentazioni sia le notazioni ), infine dell'uso del termine 'vero' e dei termini 'valido' o 'logico'.

Negli sforzi compiuti da autodidatta per impadronirmi di tali terminologie, dei simbolismi, dei concetti, stimolato anche da una passione comune solamente a pochi colleghi per il linguaggio di programmazione Prolog, sono giunto ad alcune convinzioni che anche qui vorrei esporre.

2. Il passaggio dal L.S.N. al linguaggio formale consiste fondamentalmente nel sostituire a congiunzioni del primo elementi del secondo come i connettivi - ad es. la disgiunzione oppure la implicazione -, nel sostituire a altre congiunzioni - come 'segue', 'quindi', ed equivalenti - le relazioni "logiche" 'segue logicamente' oppure 'è deducibile' (scelta relativa al metodo, "semantico" o "sintattico", a cui vogliamo ricondurci per l'analisi della correttezza dei ragionamenti), nel sostituire a certe particelle del primo i quantificatori del secondo, nel sostituire a proposizioni atomiche lettere proposizionali , e infine, nelle proposizioni in cui è importante un'analisi più dettagliata, nel sostituire ai termini le lettere usate come costanti o quelle usate come variabili, e alle relazioni e alle funzioni ancora altre lettere.

La necessità di questa "parafrasi" in linguaggio formale del L.S.N. va giustificato in relazione allo scopo che ci si prefigge: esaminare i ragionamenti utilizzati nell'ambito della matematica per comunicarne i contenuti e convincere della loro validità, distinguere i ragionamenti logici -della logica classica in particolare- , da quelli che non lo sono sebbene taluni siano utilizzati -da alcuni più da alcuni meno- nella vita di tutti i giorni. Le forme di ragionamento logico stanno a quelle di ragionamento comune come il microscopio sta all'occhio, come suggerisce Frege nella prefazione all'Ideografia, e come è opportuno servirsi di un microscopio per analisi che richiedono una certa capacità di risoluzione ottica, così il ragionamento logico è indispensabile quando linguaggio e pensiero debbano essere utilizzati per analisi di tipo matematico, senza nulla togliere all'importanza dell'occhio come delle altre forme di ragionamento per altri scopi.

Uno dei metodi per consentire il passaggio dalle congiunzioni ai connettivi e acquisire il necessario rigore nel loro uso è quello delle tavole di verità, che conducono attraverso il concetto di interpretazione a quello di conseguenza logica. Nella scuola secondaria superiore l'insegnamento della logica booleana era stato introdotto già negli anni '70 nei corsi di elettronica, per l'analisi dei circuiti logici, e da qui il metodo delle tavole di verità è stato trasferito successivamente nella didattica della matematica.

Per spiegare l'uso dei connettivi, in un'ottica che ponga i ragionamenti al centro dell'attenzione, si potrebbe meglio ricorrere ad un elenco dei ragionamenti logici elementari in cui essi compaiono, così come gli enti primitivi punto, retta, .. sono definiti mediante i postulati, inizialmente senza la pretesa che siano indipendenti. Ad esempio:

non non P. Quindi P

P e non P. Quindi contraddizione.

Contraddizione. Quindi P

Contraddizione se P. Quindi non P

Q. Quindi P o non P.

P o Q, non Q . Quindi P

P se Q, non P. Quindi non Q.

A tale elenco si potrebbe aggiungerne anche un altro per passare in rassegna ragionamenti che, pur se utilizzati spesso comunemente, non debbono esser considerati validi:

non P e Q se P. Quindi non Q.

Con ciò si segue una impostazione di tipo sintattico, ad esempio alla Gentzen, che mette in luce il fatto che la logicità di un ragionamento è collegata esclusivamente alla sua forma, cioè alla struttura linguistica, alla sintassi e non al significato delle parti "variabili" di quella, nemmeno quando si riduca tale significato al valore di verità: vero e falso non sono concetti interessanti per il matematico, per il quale è invece fondamentale il concetto di deducibiltà. Vero e falso sono utili caso mai in fase di applicazione di teorie formalmente corrette.

3. In una impostazione "sintattica" della logica è ancora possibile servirsi di meccanismi di puro calcolo, calcolo in senso stretto, simili al calcolo delle equazioni come il metodo dei sequenti, per valutare se un dato ragionamento è logico o meno. Tali meccanismi inoltre, a differenza delle tavole di verità, possono essere ampliati a fornire un metodo anche nell'ambito della logica dei predicati del 1° ordine.

Il seguente algoritmo, per decidere se una data conseguenza logica è valida, è una rielaborazione dell'algoritmo attribuito ad Hao Wang (si veda ad es: B.Raphael, 'Il computer che pensa', '86,Muzzio, pag.167), metodo detto più propriamente calcolo dei sequenti (G.Lolli, Introduzione alla logica formale,'91, il Mulino,p.135). Più efficiente e pratico del metodo basato sulle tavole di verità, esso evidenzia chiaramente come la logica delle proposizioni possa inquadrarsi in un automatismo che somiglia più che al calcolo aritmetico a quello delle equazioni, infine che vero e falso non sono concetti indispensabili per la logica - ciò che deriva anche dall'esistenza di logiche polivalenti o probabilistiche-. Inoltre l'algoritmo pone più decisamente al centro dell'attenzione l'aspetto sintattico di un ragionamento.

-Scrivi le premesse a sinistra del simbolo | ( leggi: segue ) e la conclusione a destra

P1 e P2 e ..... e Pn | C1 o C2 o .... o Cm

-Se il connettivo principale di una proposizione è 'non' togli la negazione e spostala dall'altra parte della freccia. Ad esempio:

....... e non P e.... | ..... o non Q o.....

è modificata in

.......e Q e.... | .....o P o........

-Se tra le premesse c'è P o Q sostituisci la riga con due righe in cui nella prima al posto della proposizione composta c'è P e nella seconda Q. Ad esempio:

.....e (P o Q) e.... | .......

è modificata nelle due seguenti:

......e P e.... | ....... ;

.....e Q e... | ......

-Se tra le conclusioni c'è P e Q sostituisci la riga con due righe in cui nella prima al posto della proposizione composta c'è P e nella seconda Q. Ad esempio:

.......... | .....o (P e Q) o.......

è modificata nelle due

....... | .....o P o... ;

........ | .... o Q o....

-Se tra le premesse c'è P se Q sostituisci la riga con due righe in cui nella prima al posto della proposizione composta c'è P e nella seconda non Q. Ad esempio:

..... e (P se Q) e.... | .......

è modificata nelle due seguenti:

......e P e.... | ....... ;

......e non Q e..... | ......

-Se tra le conclusioni c'è P se Q sostituisci la riga con un'altra in cui al posto della proposizione composta c'è P e alle premesse è aggiunto Q . Ad esempio:

.......... | .....o (P se Q) o.......

è modificata nelle due

........e Q | .... o P o....

-Se ad ambo i membri di una riga viene a trovarsi una stessa proposizione allora la riga è valida altrimenti se non è ulteriormente semplificabile è indimostrabile.

-Una riga e dimostrabile se e solo se lo sono tutte quelle in cui è modificata applicando le regole descritte precedentemente.

Altri metodi puramente sintattici sono stati introdotti ad esempio da W.O.Quine e infine si può aggiungere che di tali meccanismi di calcolo logico uno è funzionante in modo automatico, il Prolog, basato unicamente sulla regola proposizionale di risoluzione di Robinson, che bene e semplicemente può essere spiegato mediante esempi come il gioco delle parole proposto da Mundici al corso di aggiornamento in Logica del M.P.I. del nov. 93, e la regola predicativa di unificazione.

4. Si rifletta ora sulla seguente situazione didattica. Si considerino le spressioni

e1: x² > 4 =/=> x > 2.

e2: x > 2 ==> x² > 4

Ad esse si attribuisce lo stesso valore: dicendo ad esempio che sono vere, oppure che sono valide, o corrette.

Tuttavia la seconda diviene una proposizione vera per qualunque sostituzione numerica ad x, mentre la prima, interpretata come solitamente avviene,

( x² > 4 ==> x > 2)

è una proposizione falsa x < -2.

Diverso, corretto come ragionamento logico, sarebbe x² > 4 |=/= x > 2 , cioè che x > 2 non è conseguenza logica della premessa, dal momento che infatti

x² > 4 ==> x > 2 non è vero x R.

In sostanza si potrebbe dire che mentre in e2 la quantificazione implicita è univocamente interpretabile non è così per e1 potendosi intendere, correttamente in relazione al significato,

x ( x² > 4 ==> x > 2)

oppure, come verrebbe invece più naturale,

x ( x² > 4 ==> x > 2) equivalente a x ( x² > 4 ==> x > 2).

Forse per chiarire il senso di e1 meglio sarebbe dire semplicemente: ad es: per x=-3 si ha x² > 4 =/=> x > 2 oppure dicendo che x² > 4 ==> x > 2 non è una "regola" in R, mentre magari lo è in N.

In tale situazione si mette così in evidenza la necessità di esplicitare nella struttura linguistica di un'espressione anche i quantificatori, e di sottolineare l'importanza della distinzione tra regole, cioè proposizioni della forma x R(x) e non regole, queste ultime caratterizzate dalla presenza di controesempi. L'mportanza di stimolare lo studente a utilizzare controesempi è pari a quella di stimolare prima all'uso e poi alla consapevolezza di altri metodi dimostrativi, cioè all'uso di regole di deduzione. E' verificabile nella pratica didattica come una tecnica così importante e praticata sia tanto spesso trascurata dallo studente forse perchè ritenuta meno rigorosa. Ma essa è certamente più sofisticata di regole quali il modus ponens o oltri della logica proposizionale, tipica della logica predicativa e schematizzabile con:

x R(x). Quindi xR(x)

Come per i connettivi, l'uso corretto dei quantificatori potrebbe essere introdotto da un elenco di ragionamenti validi:

R(a). Quindi xR(x)

xR(x) se xS(x) e S(a). Quindi R(a).

x R(x). Quindi xR(x)

ecc..

insieme a uno di ragionamenti che non lo sono:

xR(x). Quindi xR(x).

ecc...