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PUNTI NOTEVOLI DEI TRIANGOLI:

ESPERIENZE COL FOGLIO ELETTRONICO

Roberto Ricci L.S. "A.Righi", Bologna

Introduzione

 

L'informatica può favorire un approccio sperimentale alla matematica, e in tal caso il laboratorio d'informatica diventa laboratorio di matematica. Un foglio elettronico si o qui usato il LOTUS 123 - è un ambiente che offre buone prestazioni in rapporto alle conoscenze tecnico-programmative indispensabili. Mostreremo come in tale ambiente sia possibile rappresentare semplici figure geometriche e, soprattutto, come si possano osservare dinamicamente per sperimentarne alcune proprietà. Si tratta di esperienze proponibili in un biennio di scuola secondaria superiore, sia allo scopo d'introdurre all'uso del foglio elettronico e alle sue funzionalità grafiche sia per fornire allo studente stimoli di riflessione su semplici questioni di geometria sintetica. Gli esempi che seguono non sono dunque più di semplici esercizi, sia di informatica che di matematica. Occorre aggiungere che esistono ambienti pio specificatamente attrezzati per uno studio sperimentale della geometria sintetica nel piano, come ad esempio Cabri-géomètre; un'alternativa a carta, matita, gomma righello e compasso per la costruzione di figure geometriche e per l'esplorazione delle loro proprietà.

Baricentro

Realizzare un F.E. per disegnare triangoli è semplice. Sari sufficiente sistemare su due colonne le coordinate dei tre vertici, ripetendo in ultimo quelle del primo punto per chiudere la spezzata con cui verranno congiunti i vertici:

  A       B       C       D       E      
1          
2          
3   60 30    
4   50 10    
5   5 40    
6   80 30    

come mostra l'elenco delle formule associate alle celle;

B3: 80
C3: 30
B4: 50
C4: 10
B5: 5
C5: 40
B6: +B3
C6: +C3

Per realizzare il grafico sarà sufficiente selezionare il tipo XY, associare la prima colonna all'asse X e la seconda ad A, eventualmente fissare manualmente i limiti inferiore e superiore di ogni asse nonché variare la scala per rendere monometrico il sistema.

Nel foglio si possono anche aggiungere le mediane:

 

  A       B       C       D       E      
1          
2          
3   60 30    
4   50 10    
5   5 40    
6   80 30    
7          
8   80 30    
9   27,5 25    
10          
11   50 10    
12   42,5 35    
13          
14   5 40    
15   65 20    

in cui punti le cui coordinate sono separate da una riga vuota non verranno graficamente congiunti tra loro.

Le formule sono:

B8: +B3
C8: +C3
B9: (B4+B5)/2
C9: (C4+C5)/2
B11: +B4
C11: +C4
B12: (B5+B6)/2
C12: (C5+C6)/2
B14: +B5
C14: +C5
B15: (B4+B3)/2
C15: (C4+C3)/2

e quindi il grafico

Variando le coordinate dei vertici del triangolo si può osservare che le mediane s'intersecano sempre in uno stesso punto, detto baricentro.

Una generalizzazione

Anziché considerare i segmenti congiungenti i vertici del triangolo con il punto medio del lato opposto si può pensare di attribuire a ciascun vertice un peso, eventualmente anche negativo, e congiungere ogni vertice con il "baricentro" del lato opposto; ovvero, detti pA e pB ad esempio i pesi dei vertici A e B, il "baricentro" del segmento AB sarà quel punto P della retta AB tale che

AP/PB = pB/pA

coincidente con il punto medio solo se pA= pb.

II foglio potrà apparire come nel seguito:

  A       B       C       D       E       F      
20   35 25   pA = 1
21   25 20   pB = -2
22   20 35   pC = 1
23   35 25      
24            
25   35 25      
26   30 5      
27            
28   25 20      
29   27, 5 30      
30            
31   20 35      
32   15 15      

con le formule seguenti:

B20: 35
C20: 25
E20: "pA =
F20: 1
B21: 25
C21: 20
E21: "pB =
F21: -2
B22: 20
C22; 35
E22: "pC =
F22: 1
B23: +B20
C23: +C20
B25: +B20
C25; +C20
B26: ($F$21*B21+$F$22*B22)/($F$21+$F$22)
C26: ($F$21*C21+$F$22*C22)/($F$21+$F$22)
B28: +B21
C28: +C21
B29: ($F$22*B22+$F$20*B20)/($F$22+$F$20)
C29: ($F$22*C22+$F$20*C20)/{$F$22+$F$20)
B31: +B22
C31: +C22
B32: ($F$20*B20 + $F$21*B21)/($F*20+$F$21)
C32: ($F$20*C20 + $F$2i*C21)/($F$20+$F$21)

Si può osservare ancora, sia variando le coordinate dei vertici del triangolo, sia variando i pesi, che tali gmenti, eventualmente prolungati, s'intersecano in uno esso punto

Dimostrarlo non è difficile: detti

PA = (pB*B + pC*C)/(pB + pC), PB = (pA*A + pC*C)/(pA + pC)

PC> = (pA*A + pB*B)/(pA + pB), P = (pA*A +pB*B + pC*C)/(pA + pB + pC)

si osservi che

P =(PA *A+(pB + pC)*P A )/(p A +(pB + p C ) ), quindi P sta su AP A

P =(PB*B+(p A + p C )*P B )/(p B +(p A + p C ) ), quindi P sta su BP B

P =(PC *C+(pA + p B )*P C )/(p C +(p A + p B ) ), quindi P sta su CP C;

Incentro

Quali eventuali pesi attribuire ai vertici per ottenere l'incentro, cioè il punto d'incontro delle bisettrici? Si può constatare che ciò si ottiene semplicemente pesando ciascun vertice con la lunghezza del lato opposto. Ecco dunque il foglio per rappresentare le bisettrici di un triangolo:

  A       B       C       D       E       F      
41   80 30   a = 62,64982
42   60 10   b = 75,66372
43   5 35   c = 28,28427
44   80 25      
45            
46   80 30      
47   45,03448 18,16300      
48            
49   60 100      
50   56,67189 33,11041      
51            
52   5 40      
53   69,05910 19,05910      

essendo le formule:

  
B41: 60
C41: 30
E41: "a =
F41: @RADQ((B42-B43)^2+ (C42-C43 )^2)
B42: 60
C42: 10
E42: " b =
F42: @RADQ((B41-B43)^2 + {C41-C43)^2)
B43: 5
C43: 40
E43: "C =
F43: @RADQ((B41-B42)^2 + (C41-C42)^2)
B44: +B41
C44: +C41
B46: +B41
C46: +C41
B47: ($F$42*B42 + $F$43*B43 )/($F$42 + $F$43)
C47: ($F$42*C42 + $F$43*C43 )/($F$42 + $F$43)
B49: +B42
C49: +C42
B50: ($F$43*B43 + $F$41*B44)/($F$43 + $F$41)
C50: ($F$43*C43 + $F$41*C44)/($F$43 + $F$41)
B52: +B43
C52: +C43
B53: ($F$41*B41 + $F$42*B42)/($F$41 + $F$42)
C53: ($F$41*C41 + $F$42*C42)/($F$41 + $F$42)
  

Ad esempio si può vedere la figura seguente

Si può anche dimostrare facilmente che appunto, nel caso CPC sia bisettrice, detta D la sua intersezione con la parallela per A al lato CB, osservato che DAC è isoscele e che i triangoli APCD e BPCC sono simili, allora APC/PCB = b/a .

Ortocentro

Quali pesi attribuire invece ai vertici per ottenere l'ortocentro, cioè il punto d'incontro delle altezze? Si deve pensare al teorema di Pitagora: A è retto se e solo se b 2 + c 2 - a 2 =0, e in tal caso P A deve coincidere con A stesso; ciò può suggerire di pesare ciascun vertice con il reciproco di b 2 + c 2 - a 2 , realizzando quindi un foglio come il seguente:

  A       B       C       D       E       F      
62   55 30   pA = 0,0005
42   25 10   pB = -0,00666
43   20 35   pC = 0,001538
44   55 25      
45            
46   55 25   a = 15,81138
47   26,5 15,5   b = 36,40054
48         c = 30,41381
49   25 20      
50   28,58490 32, 547      
51            
52   20 35      
53   22, 56756 19, 59459      

in cui le formule sono:

  
B62: 55
C62: 25 
E62: "pA =
F62: 1/(F68^2 + F69^2 - F67^2)
B63: 25
C63: 20
E63: "pB =
F63: 1/(F67^2 + F69^2 - F68^2)
B64: 20
C64: 35
E64: "pC =
F64: 1/(F67^2 + F68^2 - F69^2) 
B65: +B62
C65: +C62
B67: +B62
C67: +C62
E67: "a =
F67: @RADQ((B63-B64)^2+ (C63-C64)^2) 
B68: ($F$63*B63+$F$64*B64)/($F$63+$F$64)
C68; ($F$63*C63+$F$64*C64)/($F$63+$F$64)
E68: "b =
F68: @RADQ((B62-B64)^2+ (C62-C64)^2) 
E69: "c =
F69: @RADQ((B62-B63)^2+ (C62-C63)^2) 
B70: +B63
C70: +C63
B71: ($F$64*B64+$F$62*B65)/($F$64+$F$62)
C71: ($F$64*C64+$F$62*C65)/($F$64+$F$62)
B73: +B64
C73: +C64
B74: ($F$62*B62+$F$63*B63)/($F$62+$F$63)
C74: ($F$62*C62+$F$63*C63)/($F$62+$F$63)
  

Che in tal modo si ottengano veramente le altezze lo si pud mostrare semplicemente ad esempio con la trigonometria:

AH/HB = b*cos&alfa;/a*cosβ =

((b 2 + c 2 - a 2 )/(2c))/((a 2 + c 2 - b 2 )/(2c)) =

= (b 2 + c 2 - a 2 )/(a 2 + c 2 - b 2 ).

Ci si può convincere anche osservando grafici come quelli delle figure seguenti.

  

Bibliografia

Projet <<Cabri - gèomètre>>, Laboratoire de Structures Discrètes et de Didactique, Tour Irma BP 53X, 380412 Grenoble cedex.

LOTUS Dev, Corp. : 123, Manuale di consultazione.

AA.VV.: L'elaboratore nella formazione e nella didattica, Pitagora, Bologna 1990.