<< pagina principale < ······················ << articoli < ······················

Asse radicale di due circonferenze

di Roberto Ricci

Liceo Scientifico "A.Righi", Bo

Scopo di queste righe è soprattutto mostrare come costruire l’asse radicale di due circonferenze in modo semplice e con un numero di oggetti abbastanza limitato, inferiore al numero degli oggetti nelle costruzioni note e ricordate ad esempio su C. Pellegrino e M.G. Zagabrio in Invito alla geometria con Cabri-géomètre, ed. IPRASE del Trentino, ‘96.

Nelle scuole superiori è quasi inevitabile affrontare l’argomento quando, nell’ambito della geometria analitica, si pone il problema di trovare le coordinate dei punti intersezione di due circonferenze di equazioni date; sottraendo a una delle due equazioni l’altra, si ottiene l’equazione di una retta detta asse radicale. E’ evidente dunque che, se le circonferenze sono secanti, l’asse radicale congiunge i due punti comuni, o, se sono tangenti, è la tangente comune. In questi due casi la costruzione dell’asse radicale è immediata; invece resta a volte la curiosità di come costruirlo nel caso in cui le due circonferenze non si intersecano.

Nel seguito approfondiremo la questione con Cabri, naturalmente facendo uso della geometria elementare.

Potenza di un punto rispetto a una circonferenza

Se consideriamo una circonferenza ed un punto qualunque del piano, si può osservare che, detti A e B i punti in cui una retta passante per P incontra la circonferenza, il prodotto è costante.

Se il punto P sta sulla circonferenza ciò è evidente: = 0.

Altrimenti, detti A’ e B’ gli estremi del diametro con i quali P è allineato, possiamo derivare il risultato dalla similitudine tra i triangoli PAB’ e PA’B.

(fig.1)

Si ha che e questo prodotto costante è anche detto potenza di P rispetto alla circonferenza data. Può essere utile osservare che, se T è un punto della circonferenza e PT è una tangente, allora .

Luogo dei punti di uguale potenza rispetto a due circonferenze

Date due circonferenze, detti A e B i centri ed r_A e r_B i rispettivi raggi, per i punti P con uguale potenza, detti R_AS_A e R_BS_B i diametri delle due circonferenze con cui P è allineato e osservato ad esempio che , si può affermare che ovvero che . Questa osservazione suggerisce, se r_A > r_B, di costruire innanzitutto un punto K sulla perpendicolare da B ad AB tale che , quindi l’asse del segmento AK e il suo punto P intersezione con AB. Infatti se allora . Possiamo dire allora che il luogo dei punti di uguale potenza rispetto alle due circonferenze, detto asse radicale, è la perpendicolare condotta da P alla retta AB.

(fig.2)

Infatti per ogni punto Q che sta sulla perpendicolare condotta da P alla retta AB vale la relazione ; viceversa se allora e dunque i triangoli APQ e BPQ sono rettangoli in P.

Tutto è dunque ricondotto alla costruzione del punto K:

costruire le intersezioni della circonferenza data di centro B con la retta AB;

costruire la circonferenza di raggio r_A e di centro in uno di questi due punti;

costruire la perpendicolare da B alla retta AB;

costruire le intersezioni tra circonferenze e retta appena create.

(fig.3)

Il punto K è uno di questi due punti. Infatti il triangolo che ha per ipotenusa il diametro LM e vertice K è rettangolo e quindi l’altezza BK soddisfa la relazione .

Tale costruzione consta di 18 oggetti. Ha però l’inconveniente che è possibile solo per r_A > r_B. Volendo farne una macrocostruzione occorrerà ad esempio indicare per prima sempre la circonferenza più grande.

Alternativamente, proprio per ovviare a tale inconveniente, ci si può basare su una costruzione come la seguente, anch’essa composta di soli 18 oggetti:

costruire la perpendicolare da A alla retta AB;

costruire le intersezioni tra questa retta e la circonfereza di centro A;

costruire la circonferenza con diametro di estremi in uno dei punti C appena ottenuti e in B;

costruire l’asse radicale a della circonferenza data di centro A e della circonferenza di diametro BC;

costruire l’asse radicale a della circonferenza data di centro B e della circonferenza di diametro BC;

costruire il punto comune ai due assi radicali appena ottenuti.

La potenza di questo punto ripetto a entrambe le circonferenze date è uguale alla potenza rispetto alla circonferenza di diametro BC. L’asse radicale delle due circonferenze date è dunque la perpendicolare ad AB condotta dal punto così ottenuto.

(fig.4)

ERRATA CORRIGE: Neanche la costruzione precedente produce in ogni caso l'asse radicale, in particolare quando una circonferenza è interna all'altra. Tuttavia la costruzione può essere semplicemente modificata, come mostra la figura seguente, senza variare il numero di oggetti.