Liceo Scientifico "A.Righi", Bologna

Summary. In this writing the author shows like use geometry in the study of common problems of kinematics, to the purpose of replace algebraic methods that could result for many students, more and more thick, an obstacle for the meaningful learning.

Molti insegnanti si sono resi conto del danno provocato nella formazione matematica dalla riduzione dell’insegnamento della geometria sintetica euclidea a favore di quella analitica cartesiana. A ciò sembra difficile rimediare nonostante gli allarmi periodicamente lanciati in sede nazionale e internazionale da chi si occupa autorevolmente di didattica della matematica, e nonostante la tendenza a diffondersi di SW per la geometria come Cabri Géomètre o Geometer's Sketchpad che aggiungono alla geometria euclidea una marcia, innanzitutto quella di realizzare disegni dinamici delle figure.

L’attività geometrica, basata su manipolazioni costruttive che con i SW come Cabri diventano praticabili da tutti in modo preciso e rapido, è un’attività visiva e quindi risulta più "concreta" dell’attività algebrica. Basata invece su manipolazioni il cui significato sfugge facilmente e su abilità che si acquisiscono anche attraverso esercizi ripetitivi, l'algebra è per molti una fatica alla quale oggi è sempre più difficile sottoporsi.

Si è venuta a creare tuttavia una situazione paradossale: la matematizzazione è divenuta "algebrizzazione", anche se poi spesso mancano proprio quelle indispensabili abilità algebriche. Per fare un esempio non matematico, lo studio della cinematica viene "algebrizzato", riducendolo spesso a uno studio mnemonico di formule dirette e inverse.

L’algebra, però, non è così indispensabile: per risolvere gran quantità di problemi si può ricorrere ad altri strumenti matematici, come sapevano bene i greci. Nel seguito si espone dunque a un insegnate della scuola superiore come servirsi della sola geometria sintetica, con gli strumenti forniti dall'ambiente Cabri, per risolvere alcuni problemi esemplari di cinematica, affrontati seguendo un ordine che segue il gusto personale dell'autore e che poi saranno opportunamente selezionati e adattati dal docente in fase di azione didattica.

Un primo ed emblematico problema che si pone comunemente nello studio dei moti è il seguente:

- Dati due corpi puntiformi A e B che si muovono a velocità uniforme lungo una stessa traiettoria rettilinea, indicati con A₀ e B₀ i punti di partenza e con A₁ e B₁ i punti raggiunti dopo uno stesso intervallo di tempo, determinare dove s’incontreranno.

Per risolverlo, ci si può basare sulla costruzione seguente, illustrata in figura1:

creare una retta che rappresenti la traiettoria comune (Creazione/Retta);

costruire su tale retta i punti A₀, A₁, B₀, B₁ (Costruzione/Punto su un oggetto);

costruire per A₁ la perpendicolare alla retta traiettoria (Costruzione/Retta perpendicolare);

costruire su quest'ultima retta un punto A₁’ (Costruzione/Punto su un oggetto);

costruire da A₁’ la parallela alla traiettoria (Costruzione/Retta parallela);

costruire per B₁ la perpendicolare alla retta traiettoria (Costruzione/Retta perpendicolare)

costruire l’intersezione B₁’ tra quest'ultima retta e la parallela alla traiettoria (Costruzione/ Intersezione tra 2 oggetti);

creare le rette A₀A₁’ e B₀B₁’ (Creazione/Retta);

costruire l'intersezione tra le rette A₀A₁’ e B₀B₁’ (Costruzione/Intersezione tra 2 oggetti);

costruire la perpendicolare da quest’ultimo punto alla traiettoria (Costruzione/Retta perpendicolare);

costruire l'intersezione X tra quest’ultima retta e la traiettoria (Costruzione/Intersezione tra 2 oggetti).

Fig. 1

Tale costruzione risolve il problema posto in quanto A₀X : A₀A₁ = B₀X : B₀B₁ , e tali rapporti rappresentano anche il tempo impiegato da entrambi i corpi per raggiungere X.

Naturalmente la costruzione è corretta sia per moti in avvicinamento sia per quelli d'inseguimento; è lasciato al lettore il compito di analizzare la costruzione nei casi in cui i corpi non s'incontrano.

Più in generale possiamo risolvere il problema:

- Dati due corpi puntiformi A e B che si muovono a velocità uniforme lungo una stessa traiettoria rettilinea, detti A₀ e B₀ i punti di partenza, A₁ e B₁ i punti raggiunti dopo uno stesso intervallo di tempo, determinare dove si trova B quando si conosce la posizione di A.

Ci si può basare sulla costruzione visualizzata in figura 2:

creare una retta che rappresenti la traiettoria comune (Creazione/Retta);

costruire su tale retta i punti A₀, A₁, A, B₀, B₁ (Costruzione/Punto su un oggetto);

costruire per A₁ la perpendicolare alla traiettoria (Costruzione/Retta perpendicolare);

costruire su quest'ultima retta un punto A₁’(Costruzione/Punto su un oggetto);

costruire da A₁’ la parallela alla traiettoria (Costruzione/Retta parallela);

costruire per B₁ la perpendicolare alla traiettoria (Costruzione/Retta perpendicolare)

costruire l’intersezione B₁’ tra quest’ultima retta e la parallela alla traiettoria (Costruzione/Intersezione tra 2 oggetti);

creare le rette A₀A₁’ e B₀B₁’ (Creazione/Retta);

costruire per A la perpendicolare alla traiettoria (Costruzione/Retta perpendicolare);

costruire l'intersezione tra questa e la retta A₀A₁’ (Costruzione/Intersezione tra 2 oggetti);

costruire la parallela da quest’ultimo punto alla traiettoria (Costruzione/Retta parallela);

costruire l'intersezione tra questa e la retta B₀B₁’ (Costruzione/Intersezione tra 2 oggetti);

costruire per questo punto la perpendicolare alla traiettoria (Costruzione/Retta perpendicolare)

costruire il punto B intersezione tra quest’ultima retta e la traiettoria (Costruzione/Intersezione tra 2 oggetti).

Possiamo ora generalizzare ulteriormente il problema affrontando moti rettilinei uniformi su traiettorie diverse, iniziando per comodità dal seguente:

- Dati due corpi puntiformi A e B che si muovono a velocità uniforme su due diverse traiettorie rettilinee, detti A₀ e B₀ i punti di partenza, A₁ e B₁ i punti raggiunti dopo uno stesso intervallo di tempo, determinare dove si troverà il corpo A quando si conosce la posizione di B.

Anche in questo caso l'idea è di realizzare un'affinità tra le due rette che rappresentano le traiettorie in modo tale che ad A₀ e A₁ corrispondano rispettivamente B₀ e B₁. Qui, tra le diverse costruzioni possibili anche un po' più brevi, seguiremo quella suggerita in [Sabbatini, 1900] e illustrata in figura 3.

Creare due rette che rappresentino le traiettorie dei due corpi puntiformi (Creazione/Retta);

costruire su una delle due rette i punti A₀ e A₁ e sull’altra i punti B₀, B₁ e B (Costruzione/Punto su un oggetto);

costruire il punto medio tra A₀ e B₁ (Costruzione/Punto medio);

costruire il punto S simmetrico di A₁ rispetto al punto appena creato (Costruzione/Simmetrico di un punto);

creare la retta per B₀ e per S (Creazione/Retta);

costruire la retta per B parallela alla traiettoria A₀A₁ (Costruzione/Retta parallela);

costruire l'intersezione T tra la retta appena costruita e la retta B₀S (Costruzione/Intersezione tra 2 oggetti);

creare la retta A₀T (Creazione/Retta);

costruire per B la retta parallela alla retta A₀T (Costruzione/Retta parallela);

costruire l'intersezione A tra la retta appena creata e la retta A₀A₁ (Costruzione/Intersezione tra 2 oggetti).

Fig.3

Il punto A è quello cercato. Infatti B₀B₁:B₀B = B₁S :BT, B₁S = A₀A₁ e BT =A₀A; quindi B₀B₁:B₀B = A₀A₁: A₀A, ovvero A e B sono punti occupati dai due corpi puntiformi nello stesso istante.

Se il moto di B è utilizzato per rappresentare lo scorrere uniforme del tempo, questa costruzione permette di simulare un moto rettilineo uniforme al variare del tempo su un'asse (non parallelo alla traiettoria del moto) sulla quale l'unità di misura è rappresentata dal segmento B₀B₁.

A partire dalla precedente costruzione si può risolvere il più specifico problema seguente:

- Dati due corpi puntiformi A e B che si muovono a velocità uniforme su due diverse traiettorie rettilinee, detti A₀ e B₀ i punti di partenza, A₁ e B₁ i punti raggiunti dopo uno stesso intervallo di tempo, determinare dove risulteranno più vicini.

Ci si può basare dunque sulla costruzione illustrata in figura 4:

creare due rette che rappresentino le traiettorie dei due corpi puntiformi (Creazione/Retta);

costruire su una delle due rette i punti A₀ A₁ e sull’altra i punti B₀B₁ (Costruzione/Punto su oggetto);

costruire il punto medio tra A₀ e B₁ (Costruzione/Punto medio);

costruire il punto S simmetrico di A₁ rispetto al punto appena creato (Costruzione/Simmetrico di un punto);

creare la retta per B₀ e per S (Creazione/Retta);

costruire da A₀ la perpendicolare a questa retta (Costruzione/Retta perpendicolare);

costruire l'intersezione T tra queste due rette (Costruzione/Intersezione tra 2 oggetti);

costruire da questo punto la parallella ad A₀A₁ (Costruzione/Retta parallela);

costruire l'intersezione B tra la retta B₀B₁ e quella appena creata (Costruzione/Intersezione tra 2 oggetti);

costruire da B la perpendicolare alla retta B₀A₁’ (Costruzione/Retta perpendicolare);

costruire l'intersezione A tra l' ultima retta creata e la retta A₀A₁ (Costruzione/Intersezione tra 2 oggetti).

I punti A e B sono quelli cercati.

Fig. 4

Infatti AB = A₀T e T è, sulla retta B₀S, il punto con minima distanza da A₀.

Volendo affrontare in modo analogo problemi sul moto uniformemente vario è opportuno considerare innanzitutto una semplice costruzione come la seguente, illustrata in figura 5, per il moto con partenza da fermo.

Creare una retta che rappresenti la traiettoria (Creazione/Retta);

costruire su tale retta i punti A₀, A₁ (Costruzione/Punto su un oggetto);

costruire per A₀ la retta perpendicolare alla traiettoria (Costruzione/Retta perpendicolare);

costruire su quest'ultima retta un punto 1 (Costruzione/Punto su un oggetto);

creare il segmento di estremi 1 e A₁ (Costruzione/Segmento);

costruire per il punto 1 la perpendicolare a tale segmento (Costruzione/Retta perpendicolare);

costruire l’intersezione A’ tra questa retta e la traiettoria (Costruzione/Intersezione tra oggetti);

costruire un punto t sulla retta per A₀ e per 1 (Costruzione/Punto su oggetto);

creare il segmento di estremi t e A’ (Costruzione/Segmento);

costruire per t la perpendicolare al segmento TA’ (Costruzione/Retta perpendicolare);

costruire l’intersezione A tra quest’ultima retta e la traiettoria (Costruzione/Intersezione tra oggetti).

Per il teorema di Euclide, applicato prima al triangolo di vertici A’, 1 ed A₁ e poi al triangolo di vertici A’, t ed A, si ha che A’A₀ = 1 / A₁A₀ e poi che AA₀ / A₁A₀ = t². Così, al variare uniformemente di t, il punto A si muove di moto uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla.

Tale costruzione può generalizzarsi al caso, mostrato in figura 6, in cui si conoscano la posizione iniziale A₀ e le posizioni A₁ e A₂ del corpo dopo una e due unità di tempo.

Creare una retta che rappresenti la traiettoria (Creazione/Retta);

costruire su tale retta i punti A₀ , A₁ e A₂ (Costruzione/Punto su un oggetto);

costruire la retta per A₀ perpendicolare alla traiettoria (Costruzione/Retta perpendicolare);

costruire i punti 1 e t su tale retta (Costruzione/Punto su un oggetto);

costruire il punto 2 simmetrico di A₀ rispetto al punto 1 (Costruzione/Simmetrico di un punto);

creare i segmenti di estremi 1 e A1 e di estremi 2 e A2 (Creazione/Segmento);

costruire per gli estremi 1 e per 2 le perpendicolari ai segmenti appena creati (Costruzione/Retta perpendicolare);

costruire l’intersezione A’ tra queste due rette (Costruzione/Intersezione tra oggetti);

creare il segmento di estremi A’ e t (Creazione/Segmento);

costruire per t la parallela al segmento appena creato (Costruzione/Retta parallela);

costruire l’intersezione A tra questa retta e la traiettoria (Costruzione/Intersezione tra oggetti).

Al variare uniformemente di t anche in questo caso il punto A si muove di moto uniformemente accelerato. Il punto che ha sulla traiettoria il piede A e sulla retta per A₀ e perpendicolare alla traiettoria il piede t - ovvero il simmetrico di A₀ rispetto al punto medio tra A₂ e t - descrive inoltre un arco di parabola associato al moto uniformemente vario di A, come mostrato in figura 6.

Per convincersi del risultato si può osservare quanto segue.

Detto H il piede di A’ sulla retta per A₀ e perpendicolare alla traiettoria, sono simili le coppie di triangoli: di vertici A’, H e 1 e di vertici 1, A₀ e A₁; di vertici A’, H e 2 e di vertici 2, A₀ e A₂; di vertici A’, H e t e di vertici t, A₀ e A.

Quindi si hanno le seguenti relazioni:

dalle quali non è difficile ricavare AA₀ = ( 2× A₁A_0- A₂A₀/2)× t + (A₂A₀/2 - A₁A₀)× t².

La costruzione è anche invertibile: data la posizione di A si può determinare t; così, ad esempio, è possibile risolvere problemi come:

- Dati due corpi puntiformi A e B che si muovono rispettivamente con accelerazione e con velocità uniforme sulla stessa traiettoria rettilinea, detti A₀ e B₀ i punti di partenza, A₁ e B₁ i punti raggiunti dopo uno stesso intervallo di tempo, A₂ il punto raggiunto da A dopo un intervallo di tempo doppio del precedente, determinare la posizione di B quando si conosce quella di A.

- Dati due corpi puntiformi A e B che si muovono con accelerazione uniforme sulla stessa traiettoria rettilinea, detti A0 e B0 i punti di partenza, A1 e B1 i punti raggiunti dopo uno stesso intervallo di tempo, A2 e B2 i punti raggiunti dopo un intervallo di tempo doppio del precedente, determinare la posizione di B quando si conosce quella di A.

La figura 7 illustra la costruzione che risolve il secondo problema.

Il punto t a partire dal quale potrà essere costruito il punto B si può determinare come intersezione tra la circonferenza di diametro A’A e la retta per A₀ e 1.

Per tracciare la parabola associata a un moto uniformemente vario, e risolvere poi così problemi in cui si chiede di determinare dove s'incontreranno due corpi in moto sulla stessa traiettoria, conviene esaminare la seguente costruzione, illustrata in figura 8, alternativa a quella presentata a inizio paragrafo; in tal modo si ottiene il punto intersezione di una parabola, definita mediante tre suoi punti, con una retta parallela al suo asse di simmetria:

creare i punti A , B e C della parabola (Creazione/Punto);

creare la retta r (parallela all’asse di simmetria) (Creazione/Retta);

creare la retta per A e B (Creazione/Retta per 2 punti);

creare la retta per A e C (Creazione/Retta per 2 punti);

costruire l'intersezione tra le rette AB e r (Costruzione/Intersezione tra 2 oggetti);

costruire da questo punto la parallela alla retta AC (Costruzione/Retta parallela);

costruire da B la parallela alla retta r (Costruzione/Retta parallela);

costruire l’intersezione tra queste rette (Costruzione/Intersezione tra 2 oggetti);

creare la retta passante per questo punto e C (Creazione/Retta per 2 punti);

costruire l’intersezione D tra questa retta e r (Costruzione/Intersezione tra 2 oggetti);

Il punto D appartiene alla retta r e alla parabola passante per A, B e C e con asse parallelo alla retta r. Per convincersi della correttezza di una tale costruzione, mostrata in figura 8, si può vedere [Ricci, 98].

Dopo averla registrata nell'ambiente Cabri come macrocostruzione, è possibile affrontare i problemi posti nel seguito.

- Dati due corpi puntiformi A e B che si muovono rispettivamente con accelerazione e con velocità uniforme sulla stessa traiettoria rettilinea, detti A₀ e B₀ i punti di partenza, A₁ e B₁ i punti raggiunti dopo uno stesso intervallo di tempo, A₂ la posizione di A dopo un intervallo di tempo doppio del precedente, determinare dove s’incontrano nel caso in cui ciò accada.

Per risolvere tale problema occorre costruire ora, anziché l’intersezione tra due rette come nel caso di due moti uniformi, le intersezioni tra una retta qualunque e una parabola. In Cabri vs. 1.7 la traccia lasciata mediante l’opzione Luogo di Punti del menu Costruzioni non è un oggetto e quindi, anche se il punto intersezione con la retta è in qualche modo visibile, esso non può essere costruito. Sembra perciò che il problema, se non impossibile, sia decisamente difficile.

In [Enriques], ad esempio, si possono vedere metodi di geometria proiettiva per risolvere in generale il problema di costruire le intersezioni tra una conica e una retta. In [Ricci, 98] è descritto come adattare per Cabri uno di tali metodi per costruire, come mostrato in figura 9, i punti intersezione tra la retta relativa al moto di B e la parabola relativa al moto di A.

In figura 9 si possono vedere sia la traccia della parabola associata al moto di A, ottenuta servendosi della macrocostruzione indicata nel paragrafo precedente, sia i punti X₁ e X₂ di incontro dei due corpi A e B, ottenuti proiettando sulla traiettoria i punti intersezione tra la parabola associata al moto di A e la retta associata al moto di B.

È più semplice risolvere il problema servendosi della nuova versione Cabri II, notevolmente potenziata rispetto alla precedente, essendo possibile costruire la conica definita mediate cinque suoi punti nonché il punto intersezione tra una conica e un altro oggetto come una retta, una circonferenza o un'altra conica.

Per ottenere la parabola relativa al moto di A è sufficiente scegliere altri due punti qualunque sul luogo realizzato ad esempio con la costruzione illustrata in figura 6. Gli elementi finali di una tale costruzione in Cabri II sono illustrati nella figura 10.

Fig. 10

Concludiamo questa rassegna con il problema:

- Dati due corpi puntiformi A e B che si muovono con accelerazione uniforme sulla stessa traiettoria rettilinea, detti A0 e B0 i punti di partenza, A1 e B1 i punti raggiunti dopo uno stesso intervallo di tempo, A2 e B2 i punti raggiunti dopo un intervallo di tempo doppio del precedente, determinare dove s’incontrano nel caso in cui ciò accada.

Anche in questo caso il problema è di II grado e i metodi della geometria proiettiva consentono una risoluzione riga e compasso. Senza entrare nel dettaglio, rimandando a [Ricci, 98], si può infatti fornire una costruzione per risolvere anche questo tipo di problema, come mostra la figura 11.

Fig. 11

Alternativamente ci si può servire delle potenzialità di Cabri II e intersecare le due parabole associate ai moti di A e di B, come mostrato in figura 12.

Fig. 12

Un metodo più generale per affrontare la cinematica per via geometrica è offerto dal metodo di Bezier sviluppato per … o simili

Tale metodo può essere introdotto sulla base di una reiterazione di affinità tra rette secondo una costruzione precedentemente già suggerita oppure

Più semplicemente si può vedere il punto P(t) come media pesata: P = (1-t)·A + t·B o anche P = A + t·(B-A). L’espressione può essere vista nell'ambito dell'algebra dei vettori, identificando il punto P con il vettore OP che ne rappresenta la posizione rispetto a un punto di riferimento O, o anche in quello dell’algebra dei complessi, identificando il punto P con il numeri complesso che rappresenta fissato un punto 0, un punto 1 e un’orientamento del piano.

Al variare di t uniformemente, ovvero considerando t il tempo, il punto P si muove di moto rettilineo uniforme, detti A la posizione iniziale e B quella dopo un'unità di tempo, ovvero di velocità AB.

Un moto con accelerazione costante si può costruire iterando due volte il procedimento P=(1-t)((1-t)A+tB)+tC

La velocità è infatti P'= B-A + C-A - 2t(B-A) il che significa che la velocità varia uniformemente con accelerazione costante P''= -2(B-A).

Con cabri possiamo tradurre il metodo in una costruzione molto semplice che itera una la costruzione precedente, opportunamente trasformata in una macrocostruzione.

Si può costruire semplicemente anche il vettore accelerazione e, non molto più complicato, il vettore velocità.

Naturalmente con la versione Cabri II la possibilità di animare il tempo permette di ottenere una simulazione del moto in questione.

Con il metodo di Bezier invece costruiremo il punto P=(1-t)( (1-t)A+tB ) + t((1-t)B+tC) = (1-t)²A+2t(1-t)B+t²C e ciò significa che la velocità è P’=-2(1-t)A+2(1-2t)B+2tC = 2( (1-t)B + tC – ( (1-t)A+tB ) ) e l’accelerazione costante è P’’= 2( (C-B) – (B – A) )

Con questo metodo la velocità iniziale è il vettore 2AB, quella finale il vettore 2BC e nelle fasi intermedie il doppio del vettore QR dove Q rappresenta il punto che si muove uniformemente su AB e R quello che si muove uniformemente su BC.

Con entrambi i metodi, se AB e C sono allineati, si ottiene ovviamente un moto rettilineo uniformemente vario.

Con il metodo di Bezier è più semplice simulare il moto di un proiettile.

Naturalmente si possono iterare le costruzioni nell’ambito di ciascun metodo a partire da n punti, ottenendo traiettorie che sono curve algebriche di grado n-1 e velocità che variano secondo polinomi di grado n nel tempo.

Enriques F., 1904 , Lezioni di geometria proiettiva, Zanichelli, Bologna, 1996, pp. 281-2.

Sabbatini A., 1900, Metodi per la risoluzione di problemi geometrici, in Questioni riguardanti le matematiche elementari a cura di F. Enriques, Zanichelli, Bologna, 1987, p. 49.

Ricci R.,1998, Intersezioni di parabole con rette o parabole, La Matematica e la sua Didattica, n. 2/1998, pp. 222-230.