Risolutore universale di equazioni
Roberto Ricci
docente di Matematica e Fisica al Liceo Scientifico "A. Righi" di Bologna
La figura illustra l'apparecchio ideato nel 1751 e chiamato da Diderot nell'Encyclopedie: 'Constructeur universelle d'equations' che possiamo tradurre con 'Risolutore universale di equazioni'. Il meccanismo si compone di aste rigide che a un estremo possono scorrere lungo un'asse, quello delle ordinate, per rappresentare opportunamente i coefficienti dell'equazione e che, collegate a due altre aste rigide disposte perpendicolarmente, una fissa per l'unità e l'altra scorrevole in direzione delle ascisse, possono tracciare il grafico del polinomio in questione. Gli zeri si trovano come intersezioni con l'asse delle ascisse.
Con Cabri è semplice riprodurre il funzionamento della macchina, e così è possibile rendersi conto del funzionamento e riflettere per comprenderne le ragioni matematiche .
Supponiamo di voler risolvere l'equazione ax³+bx²+cx+d = 0. Tracciato un sistema di assi cartesiani ortogonali si fissa l'unità sull'asse x, quindi sull'asse y i punti d'=d, c'=d'+c, b'=c'+b, a'=b'+a. E così via nel caso di grado maggiore di 3.
Si traccia la retta passante per (0,b') e (1,a'). Ad essa appartiene il punto (x, ax+b'). Si traccia la retta per (0,c') e (1,ax+b'). Ad essa appartiene il punto (x,ax²+bx+c'). Si traccia la retta per (0,d') e (1,ax²+bx+c'). Ad essa appartiene il punto (x,ax3+bx2+cx+d).
E' interessante osservare anche, mediante qualche semplice calcolo, che le rette per b', d' e c' hanno pendenza rispettivamente a, ax+b, ax²+bx+c, che quindi P ha ordinata ax³+bx²+cx+d.
Orbene allo scorrere di x lungo l'asse delle ascisse, P traccia il luogo di punti y=ax³+bx²+cx+d e quindi coincide con x quando quest'ultimo è uno zero.
Possiamo dire che il dispositivo è un tracciatore di grafici di polinomi di grado n.
Tuttavia esiste un altro modo ancora più semplice, riproducibile con Cabri, per risolvere questo stesso problema, nell'ipotesi preliminare non restrittiva che a=1. Tale metodo risale a Bombelli.
Si crea innanzitutto una retta OA. Si costruisce per O la perpendicolare ad OA, e su questa si crea il punto B. Si costruisce poi per B la perpendicolare ad OB, e su questa si crea il punto C. Si costruisce inoltre per C la perpendicolare a BC, e su quest'ultima retta si crea il punto D. La costruzione prosegue analogamente per grado superiore a 3. Infine si crea un punto variabile x sulla retta OB, si crea il segmento di estremi in questo punto e in A, poi si costruisce da questo punto la retta perpendicolare al segmento. Costruito il punto in comune tra questa retta e BC, da questo si costruisce la perpendicolare alla stessa retta.
Quando l'intersezione tra quest'ultima
retta e CD coincide con D, allora x è una radice dell'equazione di terzo
grado x³+bx²+cx+d quando, nel riferimento cartesiano di centro O e assi
BO e AO, si ha che
Nel caso di figura l'equazione ha tutte e tre le radici reali.
Si può spiegare il metodo con
considerazioni ancora analitiche:
y = -x0(x-x0) e y=-c+(x+b-d)/x0
sono le equazioni della prima e dell'ultima retta costruita.
Se queste due rette si intersecano in un
punto di BC dovrà aversi -x0(-b-x0) =-c+(-b+b-d)/x0,
il che appunto x0³+bx0²+cx0+d = 0