Didattica dei Reali

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I NUMERI REALI:

SULLA LORO INTRODUZIONE COME NUMERI DECIMALI ILLIMITATI.

Roberto Ricci

insegna Matematica e Fisica al Liceo Scientifico ""A.Righi" di Bologna

PREMESSA

Nell'insegnamento secondario superiore si propone l'introduzione rigorosa dei numeri reali seguendo prevalentemente il metodo proposto da R. DedeKind. Tuttavia si assiste sempre più ad una rivalutazione di metodi costruttivi legati alla rappresentazione decimale dei numeri considerati "quantitates surdae ac ignotae" da R.Bombelli nel XVI sec. e poi da B.Cavalieri nel XVII sec., metodi che conducono infine al problema affascinante della loro calcolabilità ovvero di una loro conoscenza effettiva. Questo articolo propone essenzialmente una panoramica di tali impostazioni didattiche.

CENNI DI STORIA DEL CONCETTO DI NUMERO REALE

Sappiamo che solo verso la metà dell'ottocento “... i matematici si resero conto che i numeri reali andavano concepiti come "strutture concettuali" invece che come grandezze intuitive ereditate dalla geometria euclidea” (C.B.Boyer, 'Storia della matematica', 1968, Mondadori,1980, pag. 642).

Insieme a G.Cantor, K.Weierstrass, insegnante di scuola superiore fino a che la fama raggiunta lo condusse all'Università di Berlino, precisò le idee dei matematici da Cauchy in poi conducendo alla definizione di numero reale come classe d'equivalenza in un sottinsieme delle successioni di razionali, quello in cui ciascuna successione ha per caratteristica che la differenza tra due elementi qualsiasi presi da una certa posizione in poi è piccola a piacere, dove due di queste successioni sono in relazione quando la differenza tra due elementi che occupano la stessa posizione è, da una certa posizione in poi, piccola a piacere.

R.Dedekind, che dedicò la sua vita all'insegnamento nelle scuole secondarie dopo aver lavorato all'Università di Gottinga, in 'Continuità e numeri irrazionali' del 1862 afferma: “La via per la quale finora si solevano introdurre i numeri irrazionali aveva come punto di partenza il concetto di grandezza estensiva, il quale non è mai stato esso stesso ben definito, e seguendo questa via si arrivava a definire il numero come risultato della misura di una tale grandezza per mezzo di un'altra grandezza dello stesso genere. In sua vece chiedo che l'aritmetica si svolga da se medesima. .....Il mio risultato ... consiste nella considerazione seguente. Si è rilevato che ogni punto P della retta determina una decomposizione della medesima in due parti di tale natura che ogni punto di una di esse sta a sinistra di ogni punto dell'altra. Ora io vedo l'essenza della continuità nell'inversione di questa proprietà, cioè nel principio seguente: « Se una ripartizione di tutti i punti della retta in due classi è di tale natura che ogni punto di una delle classi sta a sinistra di ogni punto dell'altra, allora esiste uno e un solo punto dal quale questa ripartizione di tutti i punti in due classi, o questa decomposizione della retta in due parti, è prodotta»”.

Nel 1899, nei 'Fondamenti della Geometria', D.Hilbert mostra come si possano definire le operazioni tra segmenti (servendosi, per il prodotto, del teorema di Pascal o di quello di Desargues) e mostra come la struttura algebrica che si ottiene sia isomorfa a quella dei reali.

Ne 'Il continuo', del 1917, H.Weyl definisce i reali servendosi del concetto di "segmento di razionali", cioè di ogni sottoinsieme A di Q avente la proprietà seguente:

a Î A Þ [ b < a Þ b Î A ] ;
chiama così 'reale' ogni segmento aperto, cioè privo di massimo, diverso da Ø e da Q. ( H.Weyl, 'Il continuo', Bibliopolis, 1977, pag. 109).

Infine vale la pena di citare J.Brouwer che, ponendo alla base della scuola intuizionista l'esigenza costruttivista, evidenzia alcune difficoltà nel concetto di numero reale, mostrando ad esempio come si possa definire un numero reale né positivo, né negativo, né nullo ( F.Weismann, 'Introduzione alla matematica', Boringhieri). Tale numero è definito dalla serie

–1/2 + 1/4 – 1/8 + ... +(–1/2)^a(n)+ ...

dove a(n)=n se l'equazione di Fermat xⁿ+yⁿ=zⁿ non ammette soluzioni intere, altrimenti a(n)= min{ n>2 ; xⁿ+yⁿ=zⁿ ammette soluzioni intere}.

L.Lombardo Radice scrive a proposito: «Il pensare tutti i numeri reali come assegnati, implica l'impiego di un principio non costruttivo, quello delle infinite scelte arbitrarie. Infatti, un numero reale "generico" è una successione infinita numerabile di cifre che si succedono in modo arbitrario. Ora, il succedersi di infiniti simboli ( nel nostro caso: cifre ) non pone difficoltà al costruttivista, purché sia dato un criterio preciso (meccanico, deterministico ) di scelta di una cifra dopo l'altra. ...Il costruttivista, insomma, non ammette infinite scelte se arbitrarie. Il ricorso ad una successione infinita di scelte arbitrarie è un tipo di procedimento, altamente non costruttivo!, ma tanto "naturale" nella matematica superiore moderna, che nessuno si era preoccupato di metterlo in evidenza fino al cataclisma provocato dalle antinomie. La affermazione di ammissibilità di tale procedimento è il famoso postulato della scelta ( di Zermelo ), la necessità del quale in molte dimostrazioni venne messa in luce soltanto nel 1908 dal matematico tedesco Ernst Zermelo; fino a quel momento, era stato usato di fatto, senza una consapevolezza critica.» ( 'L'infinito', 1981, Editori Riuniti, pag.100).

Brouwer, con un approccio filosoficamente diverso dai precedenti, definisce 'generatore canonico' di un numero reale compreso tra 0 e 1 una successione t(n) ( nÞN ) di naturali tali che:

t(0) = 1
t(n+1) = 2t(n) oppure t(n+1)= 2t(n)+1

il cui significato può essere rappresentato ad esempio dallo schema:

0____________________________________________________1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 eccetera......

a cui corrisponde la successione di razionali:

   2·( t(n)-2ⁿ ) + 1
 —————————————————————
     2ⁿ⁺¹

( in E.Casari, 'Questioni di filosofia matematica', Feltrinelli,1964, pag. 203 e segg.).

Lo schema descritto è legato al seguente, che chiarisce il metodo mediante un'interpretazione binaria:

0____________________________________________________1

0.1 0.01 0.11 0.001 0.101 0.011 0.111 0.0001 0.1001 0.0101 ... eccetera ...

LA STORIA RECENTE DELLA DIDATTICA DEI NUMERI REALI COME NUMERI DECIMALI ILLIMITATI

Nel testo "Aritmetica pratica- pei ginnasi e per gl'istituti tecnici e magistrali" di F.Severi e M.Mascalchi, edito nel 1936 da Vallecchi, Firenze, i numeri reali vengono introdotti in maniera molto breve nell'ultimo paragrafo "Numeri decimali illimitati" del capitolo "Frazioni e numeri decimali. Numeri decimali periodici". Vi si legge: «Assegnamo una norma che permetta di scrivere le cifre di qualunque ordine di un numero decimale. Di regole di questa natura se ne possono immaginare quante se ne vuole. P. es. si può convenire di assumere come parte intera del decimale da costruirsi il numero 1, scrivendo poi dopo la virgola l'uno di seguito all'altro i successivi numeri dispari di 1, 2, 3,...cifre. Si ottiene così la scrittura: 1,135791113... Questa scrittura si chiama numero decimale illimitato, in quanto ha un numero illimitato di cifre. Di tale numero possiamo assegnare i valori interi approssimati per difetto o per eccesso a meno di 1, che sono 1 e 2; quelli decimali approssimati a meno di 1/10, che sono 1,3 e 1,4, ecc. I numeri decimali periodici sono particolari numeri decimali illimitati. Essi, come si è visto, sono uguali a frazioni. Se invece le cifre del numero non si ripetono con legge periodica, il numero decimele illimitato non è uguale ad una frazione: esso si chiama allora numero irrazionale (N.d.A.: Rimane così giustificata la denominazione numero razionale per indicare gl'interi e le frazioni). I numeri interi, decimali limitati, decimali periodici, ossia razionali; e i numeri decimali illimitati non periodici, cioè irrazionali, si chiaman complessivamente numeri reali.» Nel capitolo seguente "Radici quadrate e cubiche" si afferma ad esempio:«La radice quadrata di un intero o di una frazione esiste soltanto (...S'intende tra i numeri razionali. Se studiassimo i numeri irrazionali, si vedrebbe che la radice quadrata di un numero razionale esiste sempre (razionale o irrazionale)) se il numero o la frazione sono quadrati perfetti». Si espone quindi un procedimento «Per estrarre la radice quadrata da un numero che sia quadrato perfetto o per trovare la radice quadrata intera approssimata ( a meno di 1 ), per difetto se il numero non è quadrato, ...» A tale capitolo segue poi, dopo altri, quello su "Regole pratiche per il calcolo con numeri decimali approssimati (NdA: soltanto per gli allievi dell'Istituto tecnico)" dove ad esempio si definiscono i concetti di 'numero decimale approssimato' ( come l'intervallo [0.231 , 0.232[ ) e di 'numero non decimale approssimato' ( come ad es: [0.2391 , 0.2401[ ), dove, definite le operazioni di addizione e moltiplicazione, si osserva che l'insieme dei numeri decimali approssimati è "quasi" chiuso rispetto alla prima ma non rispetto alla seconda operazione.

U.Amaldi e F.Enriques, ad es. in 'Elementi di Geometria' vol.2, Zanichelli, 1987, enunciano anch'essi la definizione di numero irrazionale come numero decimale a infinite cifre non periodiche (pag. 16) e per l'esposizione delle sue proprietà gli AA. si servono di tutti i valori approssimati per difetto e per eccesso (pag. 20).

Più recentemente anche diversi altri autori basano la definizione di numero reale sul concetto di numero decimale illimitato. V.Villani e B.Spotorno in 'Matematica: idee e metodi', La Nuova Italia, 1979, scrivono: « I numeri rappresentati dalle scritture decimali illimitate( con la convenzione di considerare due scritture del tipo 2,9999999.... e 3,000000... come nomi diversi di uno stesso numero) si chiamano numeri reali.» (pag. 150) e quindi esaminano la strutture di ordine per poi definire, servendosi di approssimazioni decimali finite, le operazioni di addizione e di moltiplicazione tra essi.

G.Prodi, in 'Matematica come scoperta', D'Anna,1975, affida al capitolo "Le scatole cinesi" l'introduzione dei reali. Una successione di intervalli ciascuno contenuto nel precedente e le cui ampiezze divengono piccole quanto si vuole, è una scatola cinese. Una volta mostrato che si comportano come veri e propri numeri vengono detti numeri irrazionali le scatole cinesi che non contengono alcun numero razionale. Questo metodo per introdurre i reali è particolarmente accattivante, tuttavia può dar luogo a qualche imprecisione; ad esempio dalla definizione di somma tra scatole cinesi si avrebbe che se
A: [0,1;0,2], [0,12;0,13], ....
B: [0.8;0.9], [0,88;0,89], ....
allora la somma
A+B: [0,9;1,1], [1;1,02], ....
non è propriamente una scatola cinese.

L.L.Radice e L.M.Proia ne, 'Il metodo matematico nel mondo moderno',Principato, 1988, definiscono, a pag.58, irrazionali i numeri decimali illimitati aperiodici; quindi basano le operazioni di confronto, addizione e moltiplicazione sul concetto di successione di valori approssimanti per difetto o per eccesso.

In G.Zwirner, L.Scaglianti, A.Brusamolin Mantovani, 'Linguaggi e modelli per la matematica', Cedam, 1989, si definisce reale ogni numero rappresentato da un allineamento decimale e si aggiunge: «Si dirà che un numero reale è dato, cioè conosciuto, quando è noto il procedimento di calcolo che permette di determinare ( o di scrivere) quante cifre si vogliano della sua rappresentazione decimale» e «..le dimostrazioni rigorose sui numeri reali rappresentati da allineamenti decimali sono impegnative».

Può essere utile ricordare che Alan Turing s'interessò al concetto di numero reale nel suo fondamentale 'On Computable Numbers' del 1937 mettendo in « luce un'insospettata sfasatura interna del linguaggio matematico. In matematica, noi possiamo individuare un numero in due modi: scrivendolo ( o, se la sua scrittura è infinitamente lunga come nel caso dei numeri reali, dandone una procedura di computo ) o definendolo attraverso una proprietà di cui esso sia il solo a godere. L'insieme delle scritture numeriche (computabili) e quello delle definizioni numeriche sono altrettanto numerosi; infiniti entrambi, ma le loro infinità sono ugualmente grandi, e perciò ci si potrebbe aspettare che individuassero esattamente gli stessi numeri. E invece no: c'è un numero definibile ma non computabile.» (G.Rigamonti, 'Turing, il genio e lo scandalo', Flaccovio, Palermo, 1991, pagg. 61,62).

Interessante a tale proposito risulta essere anche lo studio sui numeri reali casuali, dovuto principalmente a A.N.Kolmogorov e G.J.Chaitin; ad esempio quest'ultimo definisce con precisione un numero irrazionale, indicato con W e compreso tra 0 ed 1, che non può essere computato ( M.Gardner, 'Il numero casuale W e il problema dell'arresto', su Numeri,Caso e Sequenze, ed Le Scienze Quaderni; G.J.Chaitin, 'Casualità e dimostrazione in matematica', su idem).

Interessante è anche quanto scrive H. Meschkowski ('Mutamenti nel pensiero matematico', 1960, Boringhieri, trad. L.Lombardo Radice ): «L'insieme di tutti i numeri reali "definibili" è numerabile. Se un numero reale a ci deve essere "assegnato", per esempio mediante il suo sviluppo in frazione decimale, allora deve essere dato un procedimento secondo il quale le cifre di a possono essere calcolate. Noi sappiamo che i numeri p ed e sono trascendenti ma le cifre del loro sviluppo decimale sono "computabili" ( ... ). Ora, si può vedere facilmente (...) che l'insieme di tutti i numeri reali Ó definibili mediante una regola di calcolo è numerabile. Quando noi ... continuiamo a lavorare con numeri reali "tanti quanti il continuo, noi procediamo come un viandante che trascina dietro nel suo sacco a spalla bagagli ("della potenza del continuo!") che durante il suo viaggio certamente non tirerà fuori dal sacco. Il problema di un'impostazione "costruttiva" dell'analisi ... non è affatto nuovo, e tutti i tentativi in questa direzione hanno condotto fino adesso ad un allungamento dei processi dimostrativi, spesso tormentoso». Poi aggiunge: «Dopo la seconda guerra mondiale anche nel normale insegnamento scolastico i metodi di Weierstarass trovano accesso, sempre di più. Oggi essi non vengono considerati più come "troppo difficili", perchè nel frattempo, anche mediante svariati artifici (che risalgono in parte alla Kowaleswski), essi sono diventati essenzialmente più maneggevoli. Per tale motivo sussiste anche una certa speranza che dopo un analogo lavoro scientifico e insieme metodico, una seconda "riforma dell'analisi", che viene sollecitata, abbia prospettive di successo.»(pagg. 157-8).

Tra i libri di testo, destinato questa volta a studenti dell'ultimo anno della scuola secondaria, si può esaminare anche G.C.Barozzi, 'Corso di Analisi Matematica', Zanichelli, 1989. Qui, per dare «diritto di cittadinanza agli allineamenti decimali non periodici», escludendo quelli che terminano con 9 periodico, si definisce l'ordine identificandolo con quello lessicografico, mentre le operazioni di addizione e moltiplicazione sono ben definite dopo aver provato il teorema di completezza; ad esempio la somma tra due allineamenti decimali non periodici positivi è definita come:

a₀,a₁a₂a₃a₄.... + b₀,b₁b₂b₃b₄.... =
= sup { a₀,a₁a₂....a_n + b₀,b₁b₂....b_n , n Î N }

A conclusione di questa panoramica, meritevole di ulteriori approfondimenti, occorre ribadire che gli allineamenti decimali non periodici non possano essere considerati delle vere e proprie espressioni, 'nomi' per i numeri reali, in quanto costituite da infiniti simboli. Come si potrebbe parlare ad esempio di un 'dato' allineamento decimale illimitato, e poter decidere ad esempio se si tratta di un allineamento decimale periodico? Casomai è possibile nominare solo i numeri reali che derivano da un procedimento effettivo di calcolo, utilizzando tale procedimento come nome; tali numeri costituiscono ancora solo un dominio di cardinalità del numerabile e per di più non è possibile sapere se due nomi dati denotano lo stesso numero (A.Oberschelp, Computabilità, su Matematica II, Feltrinelli, cardinalità del numerabile e per di più non è possibile sapere se due nomi dati denotano lo stesso numero (A.Oberschelp, Computabilità, su Matematica II, Feltrinelli, 1978, pag.149 ).