| Argomenti del corso |
Lez. |
Eser. |
Lab. |
| Funzioni in R^N . Insiemi in R^N :punti di accumulazione e isolati, punti interni , esterni e difrontiera, insiemi limitati, chiusi, aperti, compatti,connessi.Definizione di funzione in R^N , dominio, condominio,definizione di limite finito e infinito, proprietà dei limiti.Continuità. Derivate direzionali e parziali e loro significatogeometrico. Differenziabilità e legami tra continuità, derivabilitàparziale e differenziabilità. Piano tangente e significato geometricodel differenziale. Derivate e differenziale di ordine superiore. Formula di Taylor. Funzione implicite (in R^2) e teorema del Dini. |
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| Ottimizzazionedelle funzioni di più variabili. Esempi preliminari. Estremi liberi.Condizioni necessarie. Forme quadratiche. Condizioni sufficienti perestremi liberi. Principio di massimo per le funzioni armoniche.Estremi vincolati per funzioni di 2 variabili: condizioni sufficienti. |
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| Curvee superfici . Curve piane rappresentate in forma implicita.Rappresentazione parametrica di una curva piana. Curve semplici edifferenziabili. Curve generalmente differenziabili. Curverettificabili. Lunghezza di una curva semplice e differenziabile.Ascissa curvilinea. Superfici semplici e differenziabili di R^3.Matrice Jacobiana. Piano tangente . Pagina positiva e orientamento delbordo di una superficie. |
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| Integralidoppi e tripli. Integrali doppi. Riduzione di un integrale doppio aintegrale semplice, cambiamento delle variabili di integrazione,applicazioni. Integrali tripli estesi a domini normali. Calcolo degliintegrali tripli per riduzione a integrali doppi e semplici con l’usodi coordinate polari e cilindriche, applicazioni. Volume dei solidi, inparticolare di solidi di rotazione. |
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| Integralicurvilinei e superficiali. Integrali curvilinei, applicazioni. Formedifferenziali esatte e loro integrazione. Funzione potenziale. Areedelle superfici e in particolare di quelle cartesiane e quelle dirotazione. Integrali superficiali. Flussi. |
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| Trasformazioni integrali. Teoremi di Green-Gauss e Stokes e loro applicazioni. |
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| Equazionidifferenziali. Esempi preliminari. Definizioni e terminologia.Esistenza e unicità locale e globale. Equazioni differenziali in formanormale del 1° ordine (lineari, Bernoulli). Integrali singolari.Equazioni di Clairaut. Equazioni omogenee: espressione dell’integralegenerale. Wronskiano, teorema di Liouville. Equazioni non omogenee.Integrale particolare: metodo di Lagrange, casi notevoli del terminenoto (combinazioni dei polinomi, esponenziali e funzioni seno ecoseno).Equazioni lineari a coefficienti costanti |
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| Successionie serie di funzioni. Definizione di successione e di serie convergentesemplicemente, totalmente e uniformemente. Criterio di uniformeconvergenza (Weierstrass). Serie telescopiche. Serie di potenze incampo reale, serie di Taylor e Mac Laurin. Teorema di derivazione eintegrazione per serie. |
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