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SIMMETRIA ASSIALE   

 

Definizione

Si dice simmetria assiale di asse r la trasformazione che lascia fissa la retta r e che associa ad ogni punto P del piano non appartenente ad r il punto Q tale che il segmento PQ sia perpendicolare ad r ed abbia come punto medio il punto H, piede della perpendicolare condotta da P ad r.

 

Se un punto si trova sull’asse di simmetria la sua immagine è nella stessa posizione del punto iniziale. Questi punti si chiamano PUNTI FISSI della simmetria assiale.

  La linea che collega l’immagine all’oggetto è sempre perpendicolare all’asse di simmetria.

  L’asse di simmetria è perpendicolare al segmento oggetto-immagine e inoltre passa per il suo punto medio.

  La simmetria assiale è quindi quella trasformazione del piano in sè che fa corrispondere ad ogni punto P del piano il punto P’ simmetrico rispetto ad una retta fissa detta asse di simmetria.

Proprietà

  • Ogni punto dell’asse di simmetria è un punto fisso della simmetria assiale

  • Ogni retta perpendicolare (*) all’asse di simmetria è una retta unita.

  • Eseguendo due simmetrie aventi lo stesso asse una dopo l’altra, ogni punto viene riportato nella posizione iniziale.

  • Eseguendo due simmetrie assiali con assi perpendicolari, una dopo l’altra, si ottiene una simmetria centrale che ha come centro l’intersezione dei due assi.

  • In una simmetria assiale la distanza tra due punti è uguale alla distanza tra le rispettive immagini.

  • In una simmetria assiale ogni retta parallela all’asse si trasforma in una retta anch’essa parallela all’asse.

  •  le figure sono inversamente uguali (orientate diversamente): isometria invertente;

 

 

 

  (*) definizione.  Due rette r e s sono perpendicolari se la simmetrica di r rispetto a s è r stessa (retta unita o fissa nella trasformazione) o, ciò che è lo stesso, la simmetrica di s rispetto a r è s stessa: a una retta ^ all’asse corrisponde la retta stessa, ad una semiretta incidente all’asse una semiretta incidente, a una retta // all’asse una retta //. Non confondere una retta di punti fissi da una retta fissa. (il fatto che una retta resti fissa nella trasformazione, non comporta che restino fissi anche i suoi punti).

 

Prova a... verificare praticamente tali proprietà con il Cabri Geometre.

Esempio:

 

 

  DESCIVERE LA SIMMETRIA ASSIALE CON LE COORDINATE.

 

Per descrivere la simmetria assiale bisogna definire qual è l’asse di simmetria, si deve cioè specificare l’equazione di questa retta.

Ci limiteremo allo studio analitico della simmetria assiale ( e quindi alla ricerca delle sue equazioni) nel solo caso in cui l’asse di simmetria sia:

 

- l’asse y (x = 0)

- l’asse x (y = 0)

- la bisettrice del 1° e 3° quadrante (y = x)

- la bisettrice del 2° e 4° quadrante (y = - x)

 

 

 

SIMMETRIA RISPETTO ALL’ASSE Y.  

Se l’asse di simmetria è la retta x = 0 (asse y), allora l’immagine di un punto P(x,y) è il punto P’(-x,y).

Cioè:

·      l’ascissa di P’ è uguale all’ascissa di P cambiata di segno

·      l’ordinata di P’ è uguale all’ordinata di P.

 

Le equazioni della simmetria di asse y sono quindi:

 

                                                                 x’ = - x

                                                          S y :                 

                                                                 y’ =  y

 

 

SIMMETRIA RISPETTO ALL’ASSE X.

Consideriamo ora l’asse x (y = 0) come asse di simmetria.

Il simmetrico di P(x,y) rispetto all’asse delle x è il punto P’(x, -y).                                                                                                                                    

Osserviamo dunque che:

·      l’ascissa di P’ è uguale a quella di P

·      l’ordinata di P’ è uguale all’ordinata di P cambiata di segno.

Le equazioni della simmetria rispetto all’asse x sono quindi:

 

                                                                        x’ =  x

                                                                 S x :  

                                                                        y ’ = - y

 

 

SIMMETRIA RISPETTO ALLA BISETTRICE DEL 1° E 3° QUADRANTE.

 

Vogliamo ora scrivere le equazioni della simmetria rispetto alla retta:  Y = X.

L’immagine del punto P(x,y) è il punto P’ (y,x).

Pertanto le equazioni della simmetria rispetto alla bisettrice del 1° e 3° quadrante sono:

 

                                                                     x ’ = y

                                                           SY=X  :                

                                                                     y ’ = x

 

Quindi, se si scambiano tra loro le coordinate di un punto, si ottengono le coordinate del simmetrico del punto rispetto a questa bisettrice.

 

 

SIMMETRIA RISPETTO ALLA BISETTRICE DEL 2° E 4° QUADRANTE.

Troverai che esse risultano:

 

                                                                     x ’ = - y

                                                          SY= -X :                       

                                                                     y ’ = - x

 

 

Il movimento rigido grazie al quale una figura può sovrapporsi alla sua corrispondente in una simmetria assiale è una rotazione nello spazio di 180° attorno all’asse di simmetria, cioè un ribaltamento attorno a detto asse: questo movimento non avviene quindi nel piano della figura.  

 

Notiamo inoltre che questo tipo di trasformazione, a differenza della traslazione, non conserva l’orientamento delle figure. Si dice in questo caso, che l’isometria è inversa. Questo aspetto è caratterizzante della simmetria assiale e quindi è bene approfondirlo. Per vedere bene questa caratteristica è necessario effettuare la simmetria, non di un punto (che non ha orientamento), ma di una qualsiasi figura piana.


 

 

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