LA TOPOLOGIA
La continuità delle figure geometriche, messa in luce nell'antichità da Archimede e in tempi più recenti da Dedekind, deriva chiaramente dal senso del tatto. Una figura geometrica è continua nel senso che i suoi punti riempiono senza interruzioni una porzione di spazio (il grande matematico Eulero, nel settecento, ancora definiva la continuità di una curva come la possibilità di poterla tracciare senza staccare la matita dal foglio) e, se immaginiamo un modello fisico del nostro oggetto geometrico, questo vuol dire che possiamo scorrerlo con una mano senza incontrare interruzioni, buchi, lacune.
La continuità di un oggetto geometrico in qualche modo prescinde dalla vista e rappresenta una connotazione meno raffinata delle altre, proprio perché il nostro senso del tatto è meno raffinato del senso della vista. Rinunciare alle caratteristiche euclidee o proiettive non vuol dire quindi rinunciare alla continuità delle figure, e la Geometria delle figure solo continue si chiama Topologia.
La Topologia è molto più giovane delle sue antecedenti Euclidea e Proiettiva, ed il motivo è che prima di teorizzarla bisognava liberarsi di tutte le concezioni metriche e "rigide" accumulate in millenni di storia del pensiero umano (lo psicologo Piaget ha constatato come nei bambini piccoli sia presente la concezione topologica degli oggetti più che quella euclidea: molti non distinguono bene fra un cerchio, un quadrato o un triangolo, quando gli si chiede di disegnarlo, ma distinguono fra un cerchio ed un segmento, e qui la distinzione è topologica).
Se assumiamo che l'unico concetto di equivalenza fra le figure sia quello della continuità, un oggetto topologico può deformarsi a piacimento (purché non lo si strappi o lo si tagli) senza alterare la sua natura. Così un quadrato, una calotta sferica, un disco, sono tutti equivalenti.
Un quadrato non è però equivalente a un quadrato con un buco nel mezzo, perché, in prossimità del buco, la continuità viene a mancare (col tatto ci rendiamo perfettamente conto della presenza del buco, mentre nel quadrato pieno persiste). La costruzione di nuovi oggetti topologici è soggetta a meno vincoli di quelli euclidei, e quindi è in un certo senso più difficile: ad esempio, una qualsiasi figura che sia deformazione di un quadrato è, topologicamente, un quadrato e quindi non un oggetto realmente nuovo.
La scoperta di oggetti topologicamente nuovi ha permesso di introdurre in questo mondo oggetti che di questo mondo non hanno certo l'aspetto.
Formula di Eulero: V - e + f = 2
IN TUTTI I POLIEDRI IL NUMERO DEI VERTICI - IL NUMERO DEI LATI + IL NUMERO DEGLI SPIGOLI E' SEMPRE UGUALE A: 2v - e + f = 2 dove : V = numero dei vertici f = numero delle facce e = numero dei lati 8 - 12 + 6 = 2 |
TOPOLOGIA: GENESI E STORIA
L'idea topologica è presente in tutte le aree conosciute della matematica moderna. Il soggetto stesso della topologia consta di differenti parti come la topologia oggettiva, quella algebrica o la topologia di differenziale, che hanno relativamente poco in comune.
Il primo lavoro che può essere considerato relativo alla topologia è attribuito ad Eulero. Nel 1736 Eulero pubblicò un articolo sulle soluzioni per il ponte di Konigberg, dal titolo "The solution of a problem elating to the geometry of position". Lo stesso titolo indica che Eulero stava studiando un nuovo tipo di geometria nella quale il parametro distanza non era rilevante.
Il passo successivo nel dimostrare che la matematica ha una sua autonomia a prescindere dalla misurazione viene compiuto sempre da Eulero con la dimostrazione della formula che regola i rapporti tra poliedri:
v - e + f = 2
dove v è il numero di vertici di n poliedro, e è il numero di lati e f è il numero delle facce. E' interessante vedere come questa semplice formula sia stata ignorata da Archimede come da Descartes sebbene essi abbiano notevolmente discusso sui poliedri. Questo probabilmente perché per le generazioni precedenti ad Eulero era impossibile pensare alla proprietà geometriche senza considerare la misurazione.
La strada percorsa da Eulero venne continuata da matematici successivi, in particolare da Klein e Lhuilier fece delle modifiche alla formula già citata. Egli infatti scoprì che la formula di Eulero non funzionava se la figura considerata era bucata, questo lo portò a riscriverla nel modo seguente:
v - e + f = 2 - 2g
dove
qui g sta per i buchi contenuti nel solido. Questo fu il primo risultato conosciuto
riguardo l'invarianza topologica.
Da questo momento la strada era aperta. Nel 1865 Mobius pubblicò la
descrizione del "nastro di Mobius" attraverso la quale cercava di
descrivere le proprietà delle mono-superfici in termini di non orientabilità.
Il primo ad usare la parola topologia tuttavia fu J. B. Listing le cui idee sulla tipologia furono dovute essenzialmente all'opera di Gauss. Egli pubblicò una seri di scritti sull'argomento della connettività delle superfici tra i quali anche una bozza di descrizione del nastro di Mobius, quattro anno prima che egli lo teorizzasse.
Listing però si fermò con l'esaminare la connetività delle superfici in tre dimensioni, Betti lo estese ad n dimensioni. L'idea di connetività venne ulteriormente sviluppata da Poincaré in una serie di scritti intitolati "Analysis situs" del 1859. Egli introdusse il concetto di omologia e diede maggior precisione alla definizione di Betti sui numeri associati allo spazio.
Altro punto che si sviluppò della topologia fu la convergenza, la cui definizione era data non basandosi sul concetto di distanza, ma su quello di punto limite e di punto di accumulazione. Altri contributi allo studio della topologia vennero dall'interesse per le equazioni differenziali maturato da Poincaré in seguito al porsi di alcuni problemi astronomici. La presentazione completa dei metodi sviluppati da Poincaré e da altri venne raccolta da Brouwer nel 1912 in un'opera completa di teoria della topologia.
SUPERFICI TOPOLOGICHE
Gli esempi più conosciuti e significativi nel campo della topologia sono rappresentati di cosidetti "nastro di Mobius" e "bottiglia di Klein".
Questi due esempi rappresentano tutte le caratteristiche delle superfici tpoligche in quanto sono superfici assolutamentye continua, senza alcun tipo di interruzione che evidenziano il rapporto particolare delle superfici topologiche tra dentro e fuori. Immaginandi infatto di camminare, che sò, dentro ad un cilindro camminerò o sulla superficie interna o su quella esterna, per passare da una a l'altra l'unica alternativa è compiere un salto.
Nelle
superfici prese in considerazione il percorso, sebbene cambi l'esposizione
della superficie, sarà assolutamente continuo.
Nastro di Mobius ; Bottiglia di Klein
STRUMENTI INFORMATICI
MESH
POLIGONALI & SUPERFICI NURBS
L'informatica ha avuto un ruolo fondamentale nello sviluppo delle "Hybrid surfaces" per il semplice motivo che solo grazie all'introduzione di software sempre più complessi gli architetti hanno avuto la possibilità di avere un controllo su queste superfici. La maggior parte dei programmi oggi utilizzati sono stati creati per altri settori come l'industria automobilistica, quella aeronautica o il cinema d'animazione e, solo più tardi, sono stati impiegati nella ricerca architettonica. Per cercare di capire almeno in parte come avviene la modellazione tridimensionale, fondamentalmente simile nei diversi programmi come Maya, Alias, Catia o 3D Studio, In programmi molto complessi come Maya, Alias, Catia o 3D Studio, la rappresentazione di un modello informatizzato tridimensionale si compone essenzialmente tramite la definizione di tre tipi di caratteristiche:
la geometria: cioè la descrizione delle coordinate dei vertici
la topologia: cioè la descrizione delle relazioni di connessione tra componenti geometriche
la fotometria: cioè la descrizione di colori, normali, texture e, ai fini della sua illuminazione, la fotometria della scena.
L'aspetto che più ci interessa ai fini della ricerca è quello topologico. Oggi le tecniche di modellazione fanno capo a due metodologie principali:
· le mesh poligonali
· le superfici NURBS.
geometria approssimata: modellazione
poligonale
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geometria esatta: modellazione
NURBS
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SOLUZIONI ARCHITETTONICHE
"L'architettura non è una macchina in cui vivere ma è una trans-architettura,un algoritmo in cui giocare".
Novak
Queste architetture nascono dal desiderio di esprimere complesse imformazioni spazio temporali o da quello di analizzare le implicazioni formali delle spazialità mutevoli che nascono dalla progettazione di ambienti virtuali realizzati mediante la tecnologia.
I
nuovi softwere indagano l'interelazione tra modellazione virtuale, realtà
virtuale e spazio costruito.
Queste nuove architetture, frutto dei più recenti studi sulle superfici
topologiche, appaiono, proprio grazie alle proprietà delle stesse superfici,
sinuose, articolate e fluttuanti.
ASYMTOTE
Il gruppo Asymptote si muove al di là di quello che crediamo possibile, puntando ad un'architettura per l'elettrosfera.Utilizzando il modelling al computer e le tecniche morphing per allungare e disegnare forme familiari alla storia dell'architettura .
NOVAK
L'algoritmo produce queste forme funzione in questo modo : il sistema di dati è interpretato con due insiemi di punti nello spazio 3D .Nel bodyspace un esempio di produzione dell'algoritmo diventa una forma di architettura materiale.
"L'architettura non è una macchina in cui vivere ma è una trans-architettura,un algoritmo in cui giocare".
Scherzosamente proclamo:
"transarchitettura e rivoluzione"
OCEAN
OCEAN è un gruppo con sede a colonia ,Helsinki, londra, Oslo e Boston e sono una struttura organizzata "Collaborativa, Sinergica, Multidisciplinare, Decentrata e geograficamente dispersa".
I loro progetti variano da scala urbana a progetti industriali, studiano le varie condizioni che una superficie può assumere , costruita come un fluido , un fumo o una struttura organizzata topologicamente.
NOX- Oosterius + Spyubroek
" L'architettura ,costituita da superfici topologiche ,esaspera la propria complessità interna attraverso proiezioni video per scomporre e frammentare superfici e enfatizzare il concetto di tempo. in una percezione di "cambiamento "continuo
i nox è un ufficio di design che produce video , istallazioni, giornali, testi e architetture.
REISER + UMEMOTO
Reiser e Umemoto studiano le relazioni tra tecnologie informatiche e l'edilizia.
Propongono un architettura dello spazio solido, intendendo con ciò spiegare che il mondo virtuale è motore stesso di un architettura materiale,,introducendo l'elementi tipici del mondo informatico,come i flussi di informazioni ed energia in realizzazioni da costruire.
GREG LYNN
Le forme create da Greg Lynn sono particolarmente provocative,non materiali ma eteree nate usando come diagrammi tracce fisiche o virtuali come i flussi di circolazione,frammenti storici,le patterns urbane.
Lynn INvestiga così ,usando tecnologie digitali, la possibilità di curvatura e inflessione di queste forme
CHU
Alcuni giovani autori che sempre più si stanno affermando nella panoramica mondiale, pur proponendoci sensuali forme elaborate al computer, ci invitano a leggere il processo che le ha costituite più che la forma che le rappresenta. Alcuni di questi architetti rielaborano i concetti del filosofo e scienziato tedesco del ‘600 Leibniz, che considerava le monadi come le unità viventi (anche se prive di coscienza ) con le quali è fatto l’intero universo. Le monadi di Leibniz, indipendenti le une dalle altre ma complementari nelle azioni, sono la più piccola unità del tutto, dove il tutto a sua volta si rispecchia. Questi concetti oggi vengono ripresi da Karl Chu per applicarli nella programmazione dei sui sistemi basati su algoritmi genetici, capaci di elaborare delle stupende superfici fluide.
