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Equazione canonica - Proprietà principali - Altre proprietà

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Condizioni per determinare l'equazione di una parabola


L'equazione di una parabola può esser determinata qualora si conoscano alcune sue proprietà; certe proprietà (come il vertice o il fuoco) sono più importanti e danno più informazioni.
Ecco alcuni esempi di condizioni sufficienti per determinare l'equazione di una parabola:

  1. si conosce il vertice (o il fuoco) e la retta direttrice;
  2. si conosce il vertice (o il fuoco) e un altro punto della parabola;
  3. si conosce il vertice e il fuoco;
  4. si conosce l'asse, la retta direttrice e un punto della parabola;
  5. si conoscono 2 coefficienti dell'equazione e un punto della parabola;
  6. si conosce un coefficiente dell'equazione e 2 punti della parabola;
  7. si conosce una retta tangente e 2 punti della parabola;
  8. si conoscono 3 punti appartenenti alla parabola;

Carattesistiche della parabola


Se conosciamo l'equazione di una parabola, possiamo calcolarci facilmente l'equazione della direttrice e dell'asse, e le coordinate del fuoco e del vertice, mediante le seguenti formule:

♦ Coordinate del fuoco:

F = ( -b / 2a , (1 – Δ) / 4a )

♦ Equazione della direttrice:

d:  y = -(1 + Δ) / 4a

♦ Coordinate del vertice:

V = ( -b / 2a , -Δ / 4a )

♦ Equazione dell'asse:

a:  x = -b / 2a

essendo Δ = b² – 4ac.

Intersezioni con gli assi


Per determinare i punti di intersezioni con gli assi, si deve studiare il sistema tra l'equazione della parabola e le equazioni degli assi.
Per l'asse y il sistema è tra le equazioni y = ax² + bx + c e x = 0, che si risolve con y = c; il punto di intersezione esiste sempre, e ha coordinate (0, c).
Per l'asse x il sistema è tra le equazioni y = ax² + bx + c e y = 0, che si risolve studiando l'equazione di II grado:

ax² + bx + c = 0

Esistono punti di intersezioni se e solo se quest'equazione ha soluzioni, ovvero se Δ ≥ 0; viceversa calcolare le soluzioni di un'equazione di II grado corrisponde a studiare le intersezioni tra una parabola e l'asse x.
Se esistono due soluzioni dell'equazione, x1 e x2, allora esistono due punti d'intersezione di coordinate (x1, 0) e (x2, 0).
Se l'equazione ha soluzioni coincidenti, ovvero se Δ = 0, allora esiste un solo punto in comune tra parabola e asse x, ed è un punto di tangenza.

Possiamo quindi osservare che:

  • Il coefficiente a rappresenta la curvatura della parabola: più grande è a, più stretta è la parabola; inoltre se a è positivo la parabola curva verso l'alto ed è tutta o quasi sopra l'asse x, se è negativo la parabola curva verso il basso ed è tutta o quasi sotto l'asse x.
  • Il coefficiente b indica l'inclinazione della parabola nel punto d'intersezione con l'asse y e influisce quindi sull'equazione dell'asse di simmetria: maggiore è il valore assoluto di b, più l'asse della parabola è lontano dall'asse y.
  • Il coefficiente c determina l'intersezione della parabola con l'asse y.
  • Il Δ determina la presenza di intersezioni tra la parabola e l'asse x.

Nella seguente tabella sono elencati esempi di grafici di parabole, in relazione al segno di a e Δ [le parabole sono state "schiacciate" di un fattore 5 per poter ottenere grafici migliori]:

 

Δ > 0

Δ = 0

Δ < 0

a > 0

a > 0; Δ > 0
y = 1/5 (x² – 16x + 30)

a > 0; Δ = 0
y = 1/5 (x² – 16x + 64)

a > 0; Δ < 0
y = 1/5 (x² – 16x + 70)

a < 0

a < 0; Δ > 0
y = 1/5 (-x² + 16x – 30)

a < 0; Δ = 0
y = 1/5 (-x² + 16x – 64)

a < 0; Δ < 0
y = 1/5 (-x² + 16x – 70)


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