Tessere di Penrose
Penrose, insegnante di matematica all'Istituto di matematica
dell'Università di Oxford, è noto tra i fisici per i suoi contributi alla
teoria della relatività e alla cosmologia.
Insieme a suo padre, lo
scomparso L.S. Penrose, fu il primo a scoprire "oggetti impossibili", come
la famosa scala di Penrose che Escher usò in modo così brillante nella sua
litografia Ascending and
Descending.
| Penrose ideò due interessanti tessere denominate "aquiloni" e "punte" che possono essere derivate da un rombo con angoli di 72 e 108 gradi. | |
Basta calcolare la sezione aurea AE=f della diagonale maggiore AC. Ogni segmento rettilineo è 1 o f come indicato nella figura.
Il rombo può dar luogo ovviamente a una tassellatura periodica banale, che non ci interessa.
| Penrose ebbe invece l'interessante idea di suddividere il rombo in due figure che chiamò aquilone e punta. | |
 |
 |
I due angoli li indicheremo con T=72° e C=108° (testa e coda), e poi porre come regola che, nel far combaciare i lati, possono essere adiacenti solo angoli contrassegnati dalla stessa lettera.
Basterà ora connettere le tessere rispettando questa regola.
| Per costruire tassellature infinite e non periodiche può essere utile tenere presenti tre formazioni elementari denominate asso , farfalla piccola e farfalla grande . | ||
 |
 |
 |
Molto bello è il sole bianco che può rimanere limitato o essere esteso all'infinito in modo univoco e non periodico.
Altrettanto vale per la stella bianca.
| Esistono anche altre tre formazioni elementari molto interessanti realizzabili con le due tessere di Penrose: il due, il fante e la regina . |  |
Con esse si può costruire la tassellatura detta impero del re (dove il re è la parte più scura al centro).
Notevole è anche la struttura detta la ruota.
Sezionando punte e aquiloni in pezzi più piccoli e componendo questi ultimi in altri modi, si possono ottenere altre coppie di tessere con proprietà analoghe a quelle delle punte e degli aquiloni.
Penrose trovò anche una coppia straordinariamente semplice di tessere formata da due soli rombi, che permettono una tassellatura non periodica. Tutti i lati hanno la stessa lunghezza. Il pezzo più grande ha angoli di 72 e 108 gradi e quello più piccolo di 36 e 144 gradi. La non periodicità può essere indotta tramite una coloratura come quella suggerita da Penrose e che si vede nella figura.
Esaminiamo ora il "pentagramma dei pitagorici": era il simbolo mistico dell'antica setta pitagorica e il diagramma con cui il Faust di Goethe catturò Mefistofele.
La costruzione si può continuare all'infinito verso l'esterno e verso l'interno e ogni segmento sta in rapporto aureo col successivo minore. Si noti come tutte le quattro tessere di Penrose siano immerse nel diagramma. L'aquilone è ABCD, la punta è AECB. I rombi, sebbene le dimensioni relative non siano conservate, sono AECD e ABCF.
Penrose elaborò anche un disegno analogo a quelli di Escher, con una struttura non periodica che si può estendere all'infinito.
