Tassellature aperiodiche
Diremo che una tassellatura e'
non periodica (o
aperiodica) quando
e' impossibile combinare un certo numero di poligoni uguali in modo che
formino una struttura che poi possa ricoprire il piano accostando fra loro
molte di tali strutture.
Un primo caso interessante si verifica quando
questa struttura ha una forma identica a quella del poligono
iniziale.
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Un buon esempio di questo tipo di tassellatura e' costituito dalla "sfinge". Quattro poligoni formano una struttura identica al poligono iniziale che si può replicare all'infinito fornendo una sfinge sempre più grande, ed è facile constatare che non esiste alcuna periodicità. |
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| Golomb,
un matematico, chiama rep-tile un pezzo (tile) con questa proprietà
di autoreplicazione: cioè un pezzo che ha la possibilità di
autoreplicarsi.
Un altro studioso dell'argomento, R.M. Robinson, ha elaborato sei tessere, ciascuna delle quali permette la realizzazione di una tassellatura non periodica (di tipo diverso dalla precedente, in cui sono ammesse anche la rotazione e la riflessione). |
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| Una scacchiera poi, si può facilmente trasformare in una tassellatura non periodica: basta bisecare ogni casella, e cambiare l'orientamento delle bisezioni per evitare la periodicità. |
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| I triangoli isosceli possono dar luogo anche a tassellature non periodiche radiali. Sebbene la tassellatura sia altamente ordinata, è ovviamente non periodica. |
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| Tale tassellatura, si può tagliare a metà e poi si possono spostare di un passo o più i due semipiani in modo da ottenere una forma a spirale di tassellatura non periodica. |
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Il triangolo isoscele si può distorcere in infiniti modi, sostituendo i suoi lati uguali con linee congruenti (cioè identiche, sovrapponibili), non necessariamente rettilinee.
Se i nuovi lati sono rettilinei, il risultato è un pol¡gono di 5, 7, 9, 11 ... lati che dà luogo a una tassellatura a spirale.
Ecco una singolare struttura ottenuta in questo modo dal poligono precedente con nove lati.
In tutti i casi conosciuti di tassellatura non periodica con figure congruenti, la figura tassella anche periodicamente.
Per esempio due ennagoni come quelli visti sopra possono essere combinati in modo da formare un ottagono.
Che permette una tassellatura periodica
Ma ora poniamoci una domanda diversa: esistono insiemi di tessere di due o più forme differenti che diano luogo solo a tassellature non periodiche ?
La risposta e' affermativa.
Penrose, insegnante di matematica all'Istituto di matematica dell'Università di Oxford, è noto tra i fisici per i suoi contributi alla teoria della relatività e alla cosmologia.
Insieme a suo padre, lo scomparso L.S. Penrose, fu il primo a scoprire "oggetti impossibili", come la famosa scala di Penrose che Escher usò in modo così brillante nella sua litografia Ascending and Descending.
Egli ideò due interessanti tessere denominate "aquiloni" e "punte" che possono essere derivate da un rombo con angoli di 72 e 108 gradi, e che sono trattate a parte.
