I POLIGONI REGOLARI
Già gli antichi greci avevano stabilito che gli unici poligoni regolari (cioè convessi e con lati ed angoli interni uguali fra loro) con i quali e' possibile saturare il piano sono solo tre: il triangolo equilatero (solo quello equilatero è regolare), il quadrato e l'esagono. E' impossibile ricoprire il piano usando altri poligoni regolari con un numero maggiore di lati.
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TRIANGOLI EQUILATERI Con i triangoli equilateri la tassellatura può essere ottenuta in infiniti modi diversi facendo scivolare una sull'altra le righe di triangoli. |
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QUADRATI Con i quadrati la tassellatura può essere ottenuta in infiniti modi diversi facendo scivolare una sull'altra le righe di quadrati. |
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ESAGONI REGOLARI La tassellatura con gli esagoni regolari, così familiare alle api, è ottenibile in un solo modo, e' unica. |
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Se eliminiamo la restrizione che la tassellatura debba essere ottenuta con un poligono convesso regolare il problema diventa più interessante.
IL TRIANGOLO GENERICO
Si può dimostrare, usando la famosa formula di Eulero relativa ai poligoni: v - s + f = 1 (dove le lettere indicano rispettivamente il numero dei vertici, degli spigoli e delle facce) e alcuni concetti elementari di analisi diofantea, che con nessun poligono generico (e quindi anche nessun poligono regolare) convesso avente più di sei lati è possibile saturare il piano.
Possiamo limitare quindi il nostro studio solo ai poligoni con tre, quattro, cinque e sei lati.
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TRIANGOLI GENERICI Il caso del triangolo generico è facile. Ogni triangolo satura il piano, infatti basta ruotare il triangolo di 180° e congiungere poi il triangolo iniziale e quello ruotato in modo che combacino due lati corrispondenti, per ottenere un parallelogramma. Disponendo i parallelogrammi uno di fianco all'altro si otterrà una striscia infinita coi lati paralleli, e collocando queste strisce una di fianco all'altra si satura il piano. La disposizione non è unica perché in genere si possono formare tre parallelogrammi diversi e le "strisce" possono essere fatte scorrere le une rispetto alle altre. |
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Il caso del quadrilatero e' quasi altrettanto semplice, anche se il risultato e' più sorprendente. Ogni quadrilatero satura il piano ! Distinguiamo il caso del quadrilatero convesso da quello concavo.
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QUADRILATERO CONVESSO Per quello convesso come prima basta accostare fra loro due quadrilateri identici, uno dei quali sia ruotato di 180° rispetto all'altro, ed accostarli lungo due qualsiasi lati corrispondenti. Il risultato e' un esagono (non regolare ma con i lati opposti sempre uguali e paralleli) che permette la formazione di una striscia sulla quale può essere accostata una seconda strisce, e così via. |
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QUADRILATERO CONCAVO Per il quadrilatero concavo è ancora valido lo stesso procedimento e restano uguali anche le considerazioni finali. Quindi ogni quadrilatero satura il piano, cioè lo può ricoprire perfettamente senza lasciare spazi vuoti e senza sovrapposizioni. |
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IL PENTAGONO GENERICO
Esistono otto tipi di pentagoni convessi
capaci di saturare il piano.
Un pentagono convesso satura il piano se e solo
se appartiene a uno o più dei tipi seguenti:
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Gli ultimi due tipi richiedono anche una riflessione. Si osservi che gli schemi sono stati disegnati utilizzando poligoni il più possibile irregolari, entro i limiti del tipo rispettivo, per mettere in luce la natura caratteristica della tassellatura.
Notiamo che il pentagono equilatero (cioè quello con tutti e cinque i lati uguali, ma non con gli angoli interni uguali ! Cioè non un pentagono equilatero !), appartiene sempre al TIPO 1.
L'ESAGONO GENERICO
Il caso dell'esagono fu risolto nel 1918 da K. Reinhardt nella sua tesi di dottorato presentata all'Università di Francoforte. Egli dimostrò che gli esagoni convessi capaci di saturare il piano si dividono in tre tipi:
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Si osservi che il tipo 2, quando è
asimmetrico, richiede anche una riflessione.
Un esagono convesso saturerà il
piano se e solo se appartiene a uno dei tre tipi precedenti.
