Terne pitagoriche primitive

Terne pitagoriche primitive

di Salvatore Gambino

Non so quante siano le persone interessate alle terne pitagoriche, cioè a quelle terne di numeri interi che soddisfano il teorema di Pitagora. Io, a causa del mio lavoro, mi sono ritrovato un giorno ad esplorare, con l'ausilio di un diffuso foglio di calcolo, alcune delle infinite serie di terne utilizzando le famose formule:

a = h² - k²

b = 2hk

c = h² + k²

dove a, b e c costituiscono la terna pitagorica; h e k sono numeri naturali con k < h.

Com'è noto, tali formule generano infinite terne pitagoriche, alcune primitive e altre derivate (terne di numeri, cioè, il cui MCD è diverso da 1). Mi sono chiesto se fosse mai possibile pervenire a formule che generassero tutte le terne primitive possibili. Ho notato che quando h e k sono entrambi pari o entrambi dispari si ottengono terne derivate con MCD pari. Mi sono posto, allora, l'obiettivo di trovare delle formule capaci di generare terne di numeri che non comprendessero proprio quelle con MCD pari.

Dopo la prima fase di ricerche sono giunto a quelle che io ho chiamato formule generatrici generali:

a_G = 4x(x + y - 1) - (2y - 1)

b_G = 2y(2x + y - 1)

c_G = 2y(2x + y - 1) + (2x - 1)²

Sostituendo ad una delle due incognite che in esse compaiono la serie dei numeri naturali si ottengono due serie infinite di formule, dette numeriche e letterali, che a loro volta generano terne pitagoriche tra le quali non compaiono più le terne derivate con MCD pari. Le terne di numeri così prodotte hanno la caratteristica di appartenere a entrambe le serie di formule omologhe (numeriche e letterali) come i punti di un piano cartesiano o le caselle di una battaglia navale. Alcune sono serie di terne tutte primitive, le altre presentano ancora terne derivate con MCD che sono tutti potenze di numeri dispari.

Sono andato, perciò, alla ricerca di formule che escludessero queste ultime terne. Sono pervenuto, non senza difficoltà, ad alcune formule che eliminano le terne con MCD = 9, 9 e 81 (alternati), 25.

Non poche delle formule che si possono vedere cliccando sui gruppi di parole in blu sono lunghe e complicate. Altre sono da unificare, le rimanenti da trovare.

Serie di terne pitagoriche "numeriche"