Le Origini della Geometria Analitica
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Prima di iniziare a parlare della geometria è opportuno darne una definizione. Si definisce "geometria" quel ramo della matematica che riguarda le proprietà dello spazio. Nella sua forma più elementare si occupa di problemi metrici quali la determinazione delle arie e delle dimensioni delle figure bidimensionali, o della superficie totale e del volume dei solidi, ma attualmente comprende anche altri campi quali la geometria analitica, quella descrittiva, la topologia e quella non euclidea.
L'etimologia del termine geometria fornisce una descrizione del lavoro dei primi geometri, i quali si occupavano principalmente di problemi quali la misurazione dell'estensione dei campi da coltivare e la determinazione accurata di angoli retti per gli spigoli degli edifici. Questo tipo di geometria empirica, che fiorì nell'antico Egitto, presso i Sumeri e i Babilonesi, venne in seguito sistemata e resa sistematica dai Greci. Nel VI secolo a.C. il matematico greco Pitagora pose le basi della geometria scientifica osservando che tutte le leggi arbitrarie della geometria empirica erano conseguenze logiche di un numero limitato di assiomi o postulati.
Dall'affermazione secondo cui il "percorso più breve che unisce due punti distinti è un segmento di retta" discende un gran numero di teoremi sulle proprietà dei punti, rette, angoli, curve e piani, che tuttora forniscono le nozioni fondamentali della geometria classica. Tra questi teoremi si ricorda quello che afferma che "la somma degli angoli interni di un triangolo qualunque è pari alla somma di due angoli retti", e il celebre teorema di Pitagora, secondo il quale in un triangolo rettangolo la somma del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. La teoria dimostrativa dei Greci, che si occupò principalmente di poligoni e cerchi, venne esposta dal matematico greco Euclide.
Primi problemi geometrici
I problemi di costruzione, che consistono nel trovare il modo di disegnare una data figura geometrica con l'uso esclusivo di un righello ed un compasso, furono introdotti per la prima volta dai greci. Esempi di simili problemi sono la costruzione di un segmento doppio ad un altro o della bisettrice di un angolo. Per quanto alcuni di essi siano di difficile soluzione, tre antichi problemi di costruzione hanno impegnato generazioni e generazioni di matematici: la duplicazione del cubo, la quadratura del cerchio e la trisezione di un angolo.
è il ramo della geometria in cui rette, curve e figure geometriche vengono rappresentate con espressioni algebriche e numeriche per mezzo di un sistema di assi e di coordinate. Dato un qualsiasi punto del piano, è possibile individuarne in modo univoco la posizione rispetto ad una coppia di assi ortogonali, specificandone la distanza di ciascuno di essi. Tali distanze prendono il nome del punto; in particolare viene detta "ascissa" la distanza dall'asse verticale, o asse delle y, e "ordinata" la distanza da quella orizzontale, asse x.
La Vita
· nasce a La Haye il 13
marzo 1596
· a 8 anni entra nel
collegio La Fléche da cui esce nel 1612
· nel 1618 intraprende la
carriera militare
· nella notte del 10
novembre 1619 fa un sogno…
· vive a Parigi fino al 1628
e in Olanda dal 1629 al 1649
· muore l’ 11 febbraio 1650
Cartesio nasce in una famiglia di piccola nobiltà, a 8 anni entra
nel collegio La Fléche, fondato un anno prima dai Gesuiti, che presto avrà fama
di essere uno dei migliori collegi d’Europa. Studia il latino ma legge anche le
opere di Copernico e Galilei che non erano ancora state messe all’indice. Nel
1612 va all'Università di Poitiers, studia Giurisprudenza e si laurea nel 1616,
riceve poi un'eredità che gli consentirà di vivere di rendita. Partecipa alla
Guerra dei Trent’anni arruolandosi nel 1618 come ”volontaire”, cioè a sue spese,
nelle truppe di Maurizio di Nassau, che in quegli anni combatteva per la libertà
dell’Olanda (calvinista quindi protestante) contro la Spagna (cattolica). Non
resiste a lungo, l’anno successivo viaggia per l'Europa. L’inverno 1619-20 lo
trascorre a Ulma, é qui che nella notte del 10 novembre accade qualcosa che
segnerà la sua vita futura: fa sogni agitati e intuisce una nuova concezione del
mondo e un modo per pervenire alla verità. E’ un momento decisivo, ma ci
vorranno 18 anni prima che Cartesio riesca a pubblicare, nel 1637, un piccolo
libro in francese dal titolo Discours de la
mêthode pour bien conduire sa raison e chercher la verité dans le sciences.
Nel frattempo vive a Parigi, ma il suo metodo é in contrasto con la tradizione
Aristotelica allora seguita alla Sorbonne, e, in quei tempi, chi si oppone alla
tradizione é in pericolo. Così nel 1628 si trasferisce in Olanda, dove c’è
maggiore libertà di pensiero e vive per lo più appartato. La condanna di Galilei,
nel 1633 lo sprofonda nell’angoscia e pensa di dare alle fiamme tutti i suoi
manoscritti. Il 27 febbraio 1649 viene invitato a Stoccolma dalla regina
Cristina di Svezia, col compito di istruirla. Esita a lungo, alla fine
accetterà, ma dopo pochi mesi, l’11 febbraio 1650, dopo breve malattia, muore di
polmonite.
Le Opere
· (1628/29) 1671 Regulae ad
directionem ingegnii
· (1633) 1664 Il Mondo o il
Trattato della luce
· 1637 Discorso sul metodo -
La Diottrica, Le Meteore, La Geometria
· 1641 Meditazioni
metafisiche
· 1644 Principi della
filosofia
Le prime opere portano due date, quella in cui sono state scritte e
quella di pubblicazione tra parentesi. Non furono pubblicate da Cartesio, le
Regulae perché incomplete, Il Mondo, in cui appoggia la teoria eliocentrica,
perché, come dice egli stesso, in contrasto con le opinioni correnti ed egli non
voleva mettersi in contrasto con i dotti del suo tempo; ma anche perché é
impressionato dal processo e dalla condanna del Galilei, e preferisce
rinunciare. Questo atteggiamento di Cartesio sottolinea la diversità fra il
programma culturale del pensatore francese e quello del grande italiano. Mentre
quest'ultimo è convinto di poter trasformare radicalmente la condotta della
Chiesa nei riguardi della scienza, Cartesio non nutre illusioni sull’efficacia
della propria azione; egli sa che l’Inquisizione ha sbagliato, ma lascia al
tempo il compito di rimettere le cose a posto.
Relativamente alla condanna del Galilei afferma ”Non riesco
nemmeno a immaginare che egli, italiano e, a quanto ne so, benvoluto dal papa,
abbia potuto essere incriminato se non per il fatto di aver voluto affermare il
movimento della terra”.
Sulle Meteore “Poiché tuttavia non vorrei per alcuna ragione
al mondo che uscisse dalle mie mani uno scritto in cui si potesse trovare anche
una sola parola disapprovata dalla Chiesa, così preferisco sopprimerlo che farlo
apparire alterato” .
Tuttavia dopo la sua morte protestanti e cattolici saranno concordi
nel condannare le sue opere: 1656 i Protestanti, 1663 i cattolici.
Le Regulae del metodo
· non accettare mai nulla
per vero, se non ció che sia chiaro
· dividere ogni problema in
tante parti
· cominciare dalle cose piú
semplici per risalire per gradi alle cose piú complesse
· fare rassegne complete dei
passi del proprio ragionamento sino a essere sicuri di non omettere nulla
Con il suo metodo Cartesio si propone di ricercare un fondamento assoluto di tutto il sapere mediante due argomentazioni: una “negativa”, cioè la critica severa al tipo di istruzione ed educazione ricevuta e quindi alla matematica tradizionale, al sistema euclideo e a tutta la matematica dei greci (perché artificiosa e non capace di farci scoprire nuove verità). L’altra argomentazione è “positiva”, ovvero la proposta di un nuovo metodo, frutto di una scrupolosa indagine personale. Questo metodo si fonda su quattro regole:
Regola
dell’evidenza: non accettare mai
nulla per vero se non ció che sia chiaro ed evidente
Regola dell’analisi: dividere ogni asserzione complessa in tante parti
fino a giungere agli elementi ultimi che la costituiscono. Regola della
sintesi: cominciare dalle cose piú semplici per risalire per gradi alle cose
piú complesse, si da scoprire in quale maniera si colleghino tra loro. Regola
dell’enumerazione: fare rassegne complete dei passi del proprio ragionamento
e ripercorrerle con movimento continuo sino a essere sicuri di abbracciarle
tutte in un unico sguardo senza omettere nulla. Le quattro regole del metodo
mirano a farci cogliere con chiarezza e distinzione ogni verità, compresa la
matematica.
Dal dubbio alla prima certezza
· Il dubbio metodico come
ricerca esasperata dell'evidenza (mette in discussione la conoscenza comune)
· Il dubbio rivela il mio
essere: Cogito ergo sum
Non si può parlare di Cartesio senza citare la più famosa delle sue
frasi: Je pense, donc je suis, penso dunque
sono, cogito ergo sum.
L’atteggiamento più caratteristico del pensiero di Cartesio è il dubbio
metodico. Mette in discussione la conoscenza comune, ma anche le verità
matematiche e la memoria. Dal dubbio emerge con forza che il fatto di dubitare e
quindi pensare significa essere, esistere.
La g
È nella sua
opera La Geometrie che egli tradusse le operazioni algebriche nel linguaggio
della geometria, mostrando che le quattro operazioni aritmetiche corrispondono a
semplici costruzioni effettuate con riga e compasso e applicando di conseguenza
termini aritmetici alla geometria. A Descartes va anche il merito di aver
introdotto nuove notazioni algebriche simili a quella ancora in uso. Per esempio
è cartesiano l’uso delle prime lettere dell’alfabeto per indicare costanti e
delle ultime per esprimere le incognite, l’uso dei simboli “+” e “-“ e la
particolare notazione esponenziale per le incognite (potenza e radice quadrata).
La geometria cartesiana palesò subito i suoi vantaggi, non solo perché consentiva uno studio più sistematico delle coniche, ma anche perché forniva chiara definizione delle curve di ordine superiore. Mentre infatti possiamo agevolmente rappresentarci in modo intuitivo le curve corrispondenti ad equazioni di secondo grado (con un compasso per le circonferenze e intersecando il piano e un cono per le altre coniche), per le curve di ordine superiore ci si doveva affidare a metodi più complessi nei quali la nostra capacità di immaginazione spesso viene meno, cosa che rendeva restii i matematici a trattarli come enti geometrici. Con ciò si allargava enormemente il campo della geometria e il procedere episodico e disorganizzato degli antichi lasciava posto ad una trattazione organica e unitaria.
La vita
Pierre de Fermat nacque a Beaumont de Lomagne il 20 agosto 1601, figlio di un mercante di cuoio. Qui iniziò gli studi che completò a Tolosa e nel 1648 divenne consigliere del Re e magistrato presso il Parlamento. Rese tali servigi allo stato da essere ascritto alla "Noblesse de robe" ed autorizzato a premettere il de al proprio cognome.
La sua ascesa ai ranghi più alti non fu dovuta solo alla sua ambizione, ma anche alla sua buona salute, poiché in quel periodo in Europa infuriava la peste e i sopravvissuti venivano subito elevati di rango per sostituire i morti nelle cariche lasciate vacanti. Ma anche Fermat si ammalò di peste nel 1652 e per le sue gravi condizioni venne dichiarato morto prima di morire. Invece si riprese e dedicò tutte le sue energie alla matematica.
Fermat lesse con attenzione il trattato Arithmetica di Diofanto e da esso non si separò mai. Egli aveva l’abitudine di presentare un problema e di non rivelare le dimostrazioni. Questo suo comportamento infastidiva i suoi colleghi tanto che si racconta di un cattivo rapporto con lo stesso Cartesio. Ma, in verità, sembra che Fermat non presentasse la dimostrazione soprattutto per motivi pratici: non doveva sprecare tempo per sviluppare dettagliatamente la dimostrazione e non doveva subire le critiche degli altri matematici invidiosi.
Si possono notare, nella sua vita, delle anomalie come quella di non essere mai stato a Parigi. Altra anomalia è quella che egli non pubblicò mai i suoi scritti matematici (usciti quasi tutti postumi), ma si accontentava di intrattenere una fitta corrispondenza con Padre Mersenne. Ciò non permise di delimitare sicuramente i risultati da lui raggiunti.
Pierre de Fermat morì a Castres il 12 gennaio del 1665.
Le Opere
Come già detto Fermat non pubblicò mai i suoi scritti matematici, i quali uscirono quasi tutti postumi. Egli si dedicò ai più svariati argomenti della matematica. A lui dobbiamo ricerche sul calcolo infinitesimale e differenziale, applicazioni dell’algebra alla geometria (geometria analitica) e principi di ottica geometrica. Viene considerato, insieme a Pascal, il fondatore della teoria matematica delle probabilità, ma al suo nome è specialmente legata la teoria dei numeri (numeri socievoli), nella qual branca, di molti problemi e teoremi sono rimaste solo le enunciazioni senza le dimostrazioni (che vennero date in seguito da altri matematici).
Egli era solito lanciare sfide agli altri matematici come nel caso dell’equazione di Pell. Fermat, non si sa quando di preciso, sfidò i matematici inglesi a risolvere un’equazione di cui lui conosceva già la soluzione. Dopo un po’ di tempo, questa equazione fu risolta dal matematico inglese Pell e prese il suo nome.
I suoi teoremi più interessanti e famosi sono quelli definiti "piccolo teorema di Fermat" e "congettura di Fermat" o "ultimo teorema di Fermat".
Piccolo teorema di Fermat
Il "piccolo teorema di Fermat", espresso per la prima volta in una lettera nel 1640, fu dimostrato da Leibniz nel 1683 e una dimostrazione fu pubblicata da Eulero nel 1738. Questo teorema afferma che se p è un numero primo, allora ap-a è divisibile per p.
Ultimo teorema di Fermat
Fermat lasciò questo teorema scritto sul margine di un libro con una nota in cui giustificava l’assenza della dimostrazione con la mancanza di spazio. Il teorema affermava che non esiste una terna di numeri interi diversi da zero (x, y, z) che soddisfi l’equazione xn + yn = zn (equazione generale della terna pitagorica), ponendo n>2.
La mancanza della dimostrazione di questo teorema scatenò una sorta di gara tra i matematici del tempo, ma nessuno riuscì a dimostrarlo se non per determinati valori di n. Solo recentemente, nel 1993, il matematico Wiles dimostrò completamente il teorema, ma a causa di un errore rilevato da un comitato di esperti dovette rivedere la dimostrazione che venne poi accettata nel 1995.
La geometria analitica di Fermat
Come suddetto Fermat si occupò anche dell’applicazione
dell’algebra alla geometria o geometria analitica. Verso il 1629 fece, sempre
senza pubblicarla, la notevole scoperta che un’equazione f(x,y)=0
rappresenta una curva nel piano xy che è il principio fondamentale della
geometria analitica e che fu stampato nel 1637 nella Gèomètrie di
Descartes. Dimostrò inoltre che i massimi e i minimi relativi della funzione
f(x) si ottengono dalla formula
quando h tende a 0. Questo
è equivalente alla moderna formula f’(x)=0 (annullamento della
derivata). Fermat fu riconosciuto come fondatore del calcolo differenziale. Nel
1636 usò questo sistema per trovare le tangenti come limite delle secanti.
Se non riuscite a mandar giù la geometria analitica, se è lei che non vuole entrare in voi o se avete qualunque altro problema con questo argomento, ora, grazie a noi, avete scoperto chi è la causa della vostra dannazione
Renè Descartes & Pierre de Fermat
Ciao da Silvia, Elisa e Carlo