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^^Tabella Momento d'inerzia.

 

CM = passante per il centro di massa

Corpo Asse di rotazione Momento d'inerzia
Punto distanza R dall'asse mR2
Cilindro cavo asse del cilindro, raggio R mR2
Cilindro pieno asse del cilindro (1/2)mR2
  rotola (teo trasporto) (1/2)mR2+mR2 =(3/2)mR2
Segmento, lung L perpendicolare, CM (1/12)*m*L2
perpendicolare, passante per l'estremo (1/3)*m*L2
perpendicolare, distante D (1/3)m( (D+L)2 + (D+L)*D + D2 )
Rettangolo A*B perpendicolare alla superficie, CM (1/12)m(A2 + B2)
parallelo B,  CM m*A2
Sfera cava CM (2/3)mR2
Sfera piena CM (2/5)mR2
  tangente, es: rotola (2/5)mR2+mR2 = (7/5)mR2

Confronto sfera cilindro

Il cilindro di ugual massa e diametro ha un momento d'inerzia maggiore: (1/2)mR2 > (2/5)mR2

 

Corpo Asse di riferimento Momento d'inerzia Punto equivalente
R=
Segmento, lunghezza L perpendicolare, passante per l'estremo (1/3)*m*L^2  L/radq(3)

 

Calcolo di momenti d'inerzia

Teo: Segmento che giace su un raggio di rotazione, ma staccato dal centro.

O-----------A------B   
O = centro di rotazione
AB segmento in considerazione, di lunghezza L
OA raggio fino all'inizio del segmento, di lunghezza D

tale segmento puo' essere visto ottenuto come:

  1. AB=OB-OA  sottrazione di 2 raggi-segmenti.
  2. B------A-----------O-----------A------B   
    AB = (BB-AA)/2
    sostanzialmente e' come il caso 1, solo simmetrizzato

  3. spostamento parallelo dell'asse dal centro

dim:

m/L e' la densita' di massa lineare
mA = (m/L)*D calcolo la massa di A
mB = (m/L)*(D+L) calcolo la massa di B
IA=(1/3)*mA*D^2 formula del momento d'inerzia di un segmento, applicata al segmento OA
IB=(1/3)*mB*(D+L)^2 formula del momento d'inerzia di un segmento, applicata al segmento OB
IAB=IB-IA=(1/3)*mB*(D+L)^2 - (1/3)*mA*D^2 additivita' del momento di inerzia
= (1/3)*(m/L)*( (D+L)*(D+L)^2 - D*D^2) sostituisco mA e mB e raccolgo a fattor comune
= (1/3)*(m/L)*( (D+L)^3 - D^3)

= (1/3)*(m/L)*( (D+L- D)*( (D+L)^2 + (D+L)*D + D^2)

 a3 - b3 = (a - b)*(a2 + ab + b2)
= (1/3)*m*( (D+L)^2 + (D+L)*D + D^2 )

Calcolo 2 e' come il calcolo 1

m/L e' la densita' di massa lineare
mAA = (m/L)*2*D calcolo la massa di AA
mBB = (m/L)*2*(D+L) calcolo la massa di BB
IAA=(1/12)*mAA*(2*D)^2 formula del momento d'inerzia di un segmento, applicata al segmento OA
IBB=(1/12)*mBB*(2*(D+L))^2 formula del momento d'inerzia di un segmento, applicata al segmento OB

Calcolo 3 tramite lo spostamento parallelo dell'asse

L/2 + D e' lo spostamento dell'asse
(1/12)*m*L^2 +m*(L/2+D)^2 calcolo la massa di A

Confronto i risultati

Il modo che scelgo per confrontare e' di sviluppare fino alla fine le 2 espressioni e poi confrontare gli sviluppi.
Non ritrascrivo m perche' fattore comune.

Prima espressione
(1/12)*L^2 +(L/2+D)^2
(1/12)*L^2 +(1/4)*L^2 +D*L+D^2
(4/12)*L^2 + D*L +D^2
(1/3)*L^2 + D*L +D^2
Seconda espressione
= (1/3)*m*( (D+L)^2 + (D+L)*D + D^2 )
(1/3)*(D^2+L^2+2*D*L +D^2+D*L+D^2)
(1/3)*(L^2+3*D*L+D*L+3*D^2)
(1/3)*L^2 + D*L +D^2