Benchè sia quasi impossibile attribuire con certezza qualsivoglia conquista matematica sia a Pitagora sia ai suoi discepoli, non v'è dubbio che siano stati loro a mescolare teoria dei numeri, filosofia della vita e misticismo in una misura forse senza uguali. E a tale proposito, non è privo di interesse il fatto che Pitagora fosse contemporaneo di altri fondatori di grandi religioni quali Buddha e Confucio.

Nel sesto secolo a.C., Pitagora di Samo fu una delle figure più autorevoli e misteriose della matematica. Poiché non esistono resoconti di prima mano della sua vita e della sua opera, la sua figura è avvolta nel mito e nella leggenda e ciò rende difficile per gli storici separare la realtà dall'immaginazione. Quello che sembra certo è che Pitagora sviluppò l'idea della logica numerica e fu responsabile della fioritura della prima età aurea della matematica. Grazie al suo genio i numeri non furono più usati semplicemente per contare e calcolare, ma furono apprezzati nel loro autentico valore. Egli studiò le proprietà di certi numeri particolari, i rapporti tra i numeri e gli schemi che essi formavano. Pitagora capì che i numeri esistono indipendentemente dal mondo sensibile e che perciò il loro studio non è soggetto alle imprecisioni della percezione. Questo significa che egli potè scoprire verità indipendenti dall'opinione e dal pregiudizio e che erano più assolute di ogni precedente conoscenza.

Pitagora acquisì le sue abilità matematiche viaggiando nel mondo allora conosciuto. Alcuni racconti vorrebbero farci credere che si fosse spinto sino all'India e alla Gran Bretagna, ma è certo soltanto che egli raccolse molte tecniche e strumenti matematici dagli egiziani e dai babilonesi. Questi due popoli antichi si erano spinti al di là del semplice conteggio empirico ed erano capaci di eseguire calcoli complessi che permisero loro di elaborare sofisticati sistemi di numerazione e di costruire complessi edifici. Essi vedevano nella matematica un semplice strumento per risolvere problemi pratici e certamente la motivazione che li mosse a scoprire alcune regole basilari della geometria fu di ricostruire i confini dei campi che si smarrivano a seguito dell'annuale piena del Nilo. La stessa parola geometria significa «misurazione della terra».

Pitagora osservò che gli egiziani e i babilonesi sviluppavano ogni calcolo nella forma di una ricetta che poteva essere seguita ciecamente. Le ricette, trasmesse da una generazione all'altra, fornivano sempre la risposta esatta e perciò nessuno si preoccupava di metterle in dubbio o di indagare la logica sottostante alle equazioni. Per quelle civiltà era importante solo che il calcolo funzionasse; perché funzionasse era una questione che essi non prendevano in considerazione. Dopo vent'anni di viaggi Pitagora aveva assimilato tutte le regole matematiche allora note nel mondo antico. Veleggiò alla volta di Samo, la sua isola, nel mare Egeo, con l'intenzione di fondarvi una scuola dedita allo studio della filosofia e che si occupasse particolarmente di ricerche sulle regole matematiche da poco acquisite. Egli sperava di trovare un folto numero di studenti amanti del libero pensiero che potessero aiutarlo a sviluppare una filosofia radicalmente nuova, ma durante la sua assenza dall'isola il tiranno Policrate aveva trasformato la città un tempo liberale in una società intollerante e conservatrice. Policrate invitò Pitagora a unirsi alla sua corte, ma il filosofo capì che era solo un tentativo per metterlo a tacere e perciò declinò l'invito. Lasciò allora la città, ritirandosi in una spelonca in una parte remota dell'isola dove poteva meditare senza tema di essere perseguitato.

A Pitagora l'isolamento non piacque e alla fine si trovò costretto a pagare un giovinetto perché diventasse suo alunno. L'identità del ragazzo è incerta, ma alcuni storici hanno suggerito che anche lui si chiamasse Pitagora e che questo studente, in seguito, sarebbe diventato famoso per essere stato il primo a suggerire che gli atleti dovevano cibarsi di carne per migliorare la propria condizione fisica. Pitagora, l'insegnante, pagava allo studente tre oboli per ogni lezione frequentata e si accorse che, con il passare delle settimane, l'iniziale riluttanza del ragazzo ad apprendere si era trasformata in entusiasmo per il sapere. Per misurare il proprio successo Pitagora finse di non poter più permettersi di pagare lo studente e che le lezioni dovevano cessare; allora lo studente, per non dover interrompere la propria istruzione, si offri di pagare lui il maestro. L'alunno era così diventato un discepolo. Purtroppo questa fu la sola conversione che Pitagora riuscì a praticare a Samo. Stabilì temporaneamente una scuola nota come il Semicerchio di Pitagora, ma le sue idee di riforma sociale erano inaccettabili e il filosofo fu costretto a fuggire dalla colonia con la madre e l'unico discepolo.

Pitagora partì alla volta dell'Italia meridionale, parte della Magna Grecia, e si stabilì a Crotone dove ebbe la fortuna di trovare un patrono ideale in Milone, l'uomo più ricco della città e uno degli uomini più robusti che siano mai esistiti. La fama di Pitagora come sapiente di Samo si era già diffusa in tutta la Grecia, ma quella di Milone era ancora più grande. Era un uomo di dimensioni erculee, che era stato campione per dodici volte nei Giochi Olimpici e nei Giochi Pitici. Oltre all'atletismo, Milone apprezzava e praticava anche la filosofia e la matematica. Mise a disposizione una parte della propria casa e offrì a Pitagora stanze sufficienti per l'istituzione di una scuola. Avvenne così che la mente più creativa e il corpo più potente formarono un sodalizio. Al sicuro nella sua nuova dimora, Pitagora fondò il Sodalizio pitagorico, un gruppo di seicento seguaci non soltanto in grado di capire i suoi insegnamenti, ma anche capaci di contribuire alla dottrina pitagorica elaborando nuove idee e nuove dimostrazioni. Entrando nel Sodalizio ogni seguace doveva versare in un fondo comune tutti i propri beni materiali e se qualcuno avesse deciso di andarsene, avrebbe ricevuto il doppio della ricchezza donata in origine e una lapide sarebbe stata eretta in suo ricordo. Il Sodalizio pitagorico era una scuola egualitaria e comprendeva parecchie donne. L'allievo favorito di Pitagora era la figlia dello stesso Milone, la bellissima Teano e, nonostante la differenza d'età, essi finirono per sposarsi.

Subito dopo aver fondato il Sodalizio, Pitagora coniò la parola filosofo e, così facendo, definì gli scopi della scuola.

Anche se molti erano consapevoli delle aspirazioni di Pitagora, nessuno fuori del Sodalizio conosceva i dettagli o la misura del suo successo. Ogni membro della scuola era costretto a giurare di non rivelare mai all'esterno nessuna delle loro scoperte matematiche. Perfino dopo la morte di Pitagora, un membro del Sodalizio venne annegato per aver rotto il giuramento: aveva annunciato pubblicamente la scoperta di un nuovo solido regolare, il dodecaedro, costruito da dodici pentagoni regolari. Il carattere segreto del Sodalizio pitagorico è una delle ragioni del fiorire di leggende sugli strani rituali che i pitagorici avrebbero praticato ed è anche una causa della scarsità di fonti attendibili sulle loro dottrine matematiche.

Ciò che si sa per certo è che Pitagora istituì un ethos che ha cambiato il corso della matematica. Il Sodalizio era effettivamente una comunità religiosa e uno degli idoli adorati era il Numero. Comprendendo i rapporti tra i numeri, i pitagorici credevano di poter scoprire i segreti spirituali dell'universo e di avvicinarsi agli dèi. In particolare il Sodalizio concentrò la propria attenzione sullo studio dei numeri naturali (1, 2, 3...) e delle frazioni. I numeri naturali sono talvolta chiamati numeri interi e insieme con le frazioni (che esprimono la ratto, cioè il rapporto, tra numeri interi) vengono tecnicamente designati come numeri razionali. Nell'infinità dei numeri i pitagorici cercavano quelli che avevano un significato speciale e tra i più speciali erano i cosiddetti numeri «perfetti».

Numeri Perfetti

Secondo Pitagora la perfezione numerica dipendeva dai divisori di un numero (cioè quei numeri che dividono perfettamente un numero). Per esempio i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4 e 6. Quando la somma dei divisori di un numero è maggiore del numero stesso, quel numero viene definito un numero «eccedente». Perciò 12 è un numero eccedente perché i suoi divisori, addizionati, danno come somma 16. D'altro canto quando la somma dei divisori di un numero è inferiore al numero stesso, il numero è chiamato «difettivo». Così 10 è un numero difettivo perché i suoi divisori (1, 2 e 5), addizionati, danno soltanto 8. I numeri più rari e importanti sono quelli i cui divisori, addizionati, danno esattamente come somma il numero in questione. Questi sono i numeri perfetti.

Il 6 ha come divisori 1, 2 e 3, di conseguenza è un numero perfetto, perché 1 + 2 + 3 = 6.

Il successivo numero perfetto è 28, perché 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Salendo nella serie dei numeri naturali, è sempre più difficile trovare numeri perfetti. Il terzo numero perfetto è 496, il quarto 8128, il quinto 33.550.336 e il sesto è 8.589.869.056. Pitagora notò che i numeri perfetti, oltre a essere la somma di tutti i loro divisori, presentavano parecchie altre eleganti proprietà. Tra l'altro, i numeri perfetti sono sempre la somma di una serie di numeri naturali consecutivi. Ad esempio:

6 = 1 + 2 + 3,

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +...+ 30 + 31,

8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +...+ 126 + 127.

Pitagora si compiaceva dei numeri perfetti, ma non era appagato semplicemente dal loro ritrovamento; desiderava piuttosto scoprirne il significato profondo. Una delle sue intuizioni fu che la perfezione era strettamente connessa al «due». I numeri 4 (2 x 2), 8 (2 x 2 x 2), 16 (2 x 2 x 2 x 2), etc., sono noti come potenze di 2 e possono essere scritti come 2ⁿ, dove la n rappresenta il numero di 2 moltipllcati tra loro. Tutte queste potenze di 2 non sono numeri perfetti per uno scarto minimo, poiché la somma dei loro divisori ammonta sempre a una cifra inferiore di un'unità al numero stesso. Questo li rende solo lievemente difettivi:

2² = (2 X 2) = 4 Divisori 1,2 Somma = 3, 2³ = (2 X 2 X 2) =8 Divisori 1,2,4 Somma = 7, 2⁴ = (2 X 2 X 2 X 2) = 16 Divisori 1,2,4, 8 Somma = 15, 2⁵ = (2 X 2 X 2 X 2 X 2) = 32 Divisori 1,2,4, 8, 16 Somma = 31.

Due secoli dopo, Euclide avrebbe perfezionato il nesso istituito da Pitagora tra il due e la perfezione. Euclide scoprì che i numeri perfetti sono sempre multipli di due numeri, uno dei quali è una potenza di 2 e l'altro è la successiva potenza di 2 meno 1. Vale a dire:

6 = 2¹ x (2² - 1) 28 = 2² x (2³ - 1) 496 = 2⁴ x (2⁵ - 1) 8128 = 2⁶ x (2⁷ - 1)

Oggi i computer hanno continuato la ricerca dei numeri perfetti e hanno trovato esempi di numeri colossali come 2²¹⁶⁰⁹⁰ x (2²¹⁶⁰⁹¹ - 1), un numero con più di centotrentamila cifre che obbedisce alla regola di Euclide.

Pitagora era affascinato dalla ricchezza di schemi e di proprietà posseduti dai numeri perfetti e ne venerava la sottigliezza e la sagacia. A prima vista i numeri perfetti sono un concetto relativamente semplice da comprendere e tuttavia gli antichi greci non riuscirono a sondare alcuni aspetti fondamentali del tema. Per esempio, benché ci siano moltissimi numeri i cui divisori, addizionati, danno una somma inferiore di una sola unità al numero in questione, vale a dire numeri solo lievemente difettivi, non sembra che esistano numeri lievemente eccedenti. I greci non riuscirono a trovare alcun numero i cui divisori, addizionati, dessero come somma una cifra superiore di una sola unità al numero stesso, ma non seppero spiegare perché. Purtroppo, benché non riuscissero a scoprire numeri lievemente eccedenti, non poterono dimostrare l'inesistenza di tali numeri. Capire perché non ci fossero questi numeri lievemente eccedenti non aveva alcun valore pratico e tuttavia era un problema che poteva illuminare la natura dei numeri ed era perciò degno di studio. Enigmi come questi attiravano l'attenzione dei pitagorici e duemilacinquecento anni dopo i matematici non sono ancora in grado di dimostrare che i numeri lievemente eccedenti non esistono.

Tutto è numero

Oltre a studiare i rapporti tra i numeri, Pitagora era anche attratto dal nesso tra i numeri e la natura. Egli capì che i fenomeni naturali sono governati da leggi e che queste leggi possono essere descritte con equazioni matematiche. Uno dei primi nessi da lui scoperti fu la relazione fondamentale tra l'armonia musicale e l'armonia dei numeri.

Il più importante strumento nella musica greca dell'età più antica era la lira a quattro corde. Prima di Pitagora i musici avevano notato che note particolari suonate insieme producevano un effetto piacevole e avevano accordato la lira in modo che, pizzicando due corde, potessero produrre tale armonia. Tuttavia i primi musici non capivano perché certe note particolari fossero armoniche e non avevano un metodo per accordare i propri strumenti. Li accordavano ad orecchio, finché non si produceva una condizione di armonia: una procedura che Fiatone definì torturare i cavicchi per l'accordatura. Giamblico, il filosofo del quarto secolo d.C. che scrisse nove libri sulla setta pitagorica, descrive come Pitagora giunse a scoprire i principi sottesi all'armonia musicale:

Una volta era immerso nel pensiero di escogitare un ausilio meccanico per il senso dell'udito che potesse dimostrarsi preciso e ingegnoso. Tale strumento doveva assomigliare ai compassi, alle squadre e agli strumenti ottici utili al senso della vista. Allo stesso modo il tatto dispone di bilance e delle nozioni di pesi e misure. Per un divino colpo di fortuna gli capitò di passare davanti alla fucina di un fabbro e di ascoltare i martelli che battevano il ferro e producevano una variegata armonia di suoni tranne in un caso.

Secondo Giamblico, Pitagora entrò subito nella fucina per indagare l'armonia dei martelli. Notò che la maggior parte dei martelli potevano essere colpiti simultaneamente per generare un suono armonico, mentre ogni combinazione che prevedesse un particolare martello produceva sempre un rumore spiacevole. Analizzò i martelli e capì che tra quelli che erano armonici sussisteva una semplice relazione matematica: le loro masse erano in un rapporto frazionario semplice tra loro. Ciò significava che i martelli che pesavano la metà o due terzi o tre quarti di un particolare martello avrebbero tutti prodotto suoni armonici. D'altro lato il martello che produceva disarmonia quando veniva impiegato insieme con qualche altro martello aveva un peso che non era in un rapporto semplice con gli altri pesi.

Pitagora aveva scoperto i semplici rapporti numerici responsabili dell'armonia nella musica. Gli scienziati hanno sollevato qualche dubbio sulla veridicità del racconto di Giamblico, ma ciò che è più certo è che Pitagora applicò la sua nuova teoria dei rapporti musicali alla lira, esaminando le proprietà di una singola corda. Il semplice pizzicare una corda genera una nota o tono fondamentale che è prodotto dall'intera lunghezza della corda vibrante. Fissando la corda in punti particolari lungo la sua lunghezza, è possibile generare altre vibrazioni e toni. Toni armonici significativi si producono solo in punti specifici. Per esempio, se si fissa la corda in un punto esattamente a metà della sua lunghezza, si genera un tono che è di un'ottava più alto e in armonia con la nota originaria. Analogamente, fissando la corda in punti che sono esattamente un terzo, un quarto o un quinto della sua estensione, si producono altre note armoniche. Invece, fissando la corda in un punto che non è una semplice frazione della lunghezza dell'intera corda, si genera un tono che non è in armonia con gli altri toni.

Pitagora aveva scoperto la regola matematica che governava un fenomeno fisico e aveva dimostrato che tra la matematica e la scienza della natura c'era una relazione fondamentale. Dopo questa scoperta, gli scienziati hanno sempre cercato regole matematiche che sembrano governare ogni processo fisico e hanno scoperto che i numeri emergono in ogni sorta di fenomeno naturale. Per esempio, un particolare numero sembra determinare la lunghezza dei fiumi che formano meandri. Il professor Hans-Henrik St01um, uno scienziato della terra all'Università di Cambridge, ha calcolato il rapporto tra la lunghezza effettiva dei fiumi dalla sorgente alla foce e la loro lunghezza in linea d'aria. Anche se il rapporto varia tra un fiume e l'altro, il valore medio è leggermente superiore a 3, cioè la lunghezza effettiva è circa tre volte maggiore della distanza diretta in linea d'aria. In realtà il rapporto è all'in circa di 3,14, che è il valore approssimato di , ossia del rapporto tra la circonferenza e il diametro del cerchio.

Il numero deriva originariamente dalla geometria del cerchio e tuttavia riappare continuamente in una varietà di circostanze fisiche. Nel caso dei fiumi, la comparsa di è il risultato di una battaglia tra l'ordine e il caos. Einstein fu il primo a suggerire che i fiumi tendono a seguire un percorsA sempre più tortuoso perché la corrente, essendo più veloce sulla parte esterna di una curva, produce un'erosione maggiore sulla sponda corrispondente, così che la curvatura in quel punto aumenta. Più accentuata è la curvatura, più forte è la corrente sulla sponda esterna e di conseguenza maggiore è l'erosione. Il fiume perciò tende a procedere sempre più tortuosamente. C'è però un processo naturale che spezza questa evoluzione caotica: la crescente tortuosità avrà come risultato che il corso del fiume si ripiega su se stesso fino a fondersi; in tal caso il corso del fiume si raddrizza e l'ansa viene lasciata da una parte a formare una specie di lago semicircolare. L'equilibrio tra questi due fattori opposti conduce a un rapporto medio di 71 tra l'effettiva lunghezza e la distanza in linea retta tra la sorgente e la foce. Il rapporto di si trova più comunemente in quei fiumi che scorrono attraverso pianure che hanno un dislivello molto tenue, come i fiumi in Brasile o nella tundra siberiana.

Pitagora comprese che i numeri erano celati in tutte le cose, dall'armonia musicale alle orbite dei pianeti, e ciò lo indusse a proclamare che «tutto è numero». Esplorando il significato della matematica Pitagora stava sviluppando il linguaggio che avrebbe consentito a lui e ad altri di descrivere la natura dell'universo. Da allora in poi ogni progresso matematico avrebbe dato agli scienziati il vocabolario di cui avevano bisogno per spiegare meglio i fenomeni circostanti. Infatti gli sviluppi nella matematica avrebbero ispirato le rivoluzioni scientifiche.

Il teorema di Pitagora

Mentre è virtualmente impossibile separare i fatti storici dai racconti mitologici, Pitagora e i pitagorici sono più conosciuti per il loro presunto contributo allo sviluppo della matematica, e per la sua applicazione al concetto di ordine, sia questo un ordine musicale, cosmico o perfino etico. Fin dalla scuola dell'obbligo si impara il «teorema di Pitagora» sui triangoli rettangoli. Secondo questo teorema l'area del quadrate costruito sui lato più lungo (l'ipotenusa) è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sugli altri due lati (i cateti).

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Il teorema, formulato in questa semplice enunciazione da Pitagora, è stato impresso nel cervello di milioni se non di miliardi di esseri umani. È il teorema fondamentale che ogni ingenuo scolaretto è costretto a imparare. Ma nonostante che possa essere capito da un bambino di dieci anni, il teorema di Pitagora fornì l'ispirazione per un problema che ha frustrato le più grandi mentì matematiche della storia.

Il teorema di Pitagora ci offre un'equazione valida per tutti i triangoli rettangoli e che perciò definisce anche lo stesso angolo retto. A sua volta l'angolo retto definisce la perpendicolare, ossia la relazione tra verticale e orizzontale e infine la relazione tra le tre dimensioni dell'universo a noi familiare. La matematica, attraverso l'angolo retto, definisce proprio la struttura dello spazio nel quale viviamo.

È una comprensione profonda e tuttavia la matematica richiesta per intendere il teorema di Pitagora è relativamente semplice. Per capirlo basta cominciare con il misurare la lunghezza dei due lati più corti (i cateti) di un triangolo rettangolo (x e y) e poi elevare al quadrato ognuno dei due x², y²). Sommate poi i due quadrati (x² + y²) per ottenere il risultato finale. Se calcolate il numero per il triangolo della figura, vedrete che è 25.

Tutti i triangoli rettangoli obbediscono ai teorema di Pitagora.

Ora potete misurare il lato più lungo, l'ipotenusa, ed elevare al quadrato la sua lunghezza. Il risultato notevole è che questo numero è identico a quello che avete appena calcolato, cioè 52 = 25. Vale a dire: In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Ovvero, simbolicamente:

Questo è evidentemente vero per il triangolo mostrato nella figura, ma il fatto significativo è che il teorema di Pitagora è vero per ogni triangolo rettangolo che possiate immaginare. È una legge matematica universale e potete affidarvi a essa ogni volta che incontrate un triangolo con un angolo retto.

Viceversa se avete un triangolo che obbedisce al teorema di Pitagora, allora potete essere assolutamente certi che si tratta di un triangolo rettangolo. A questo punto è importante notare che sebbene questo teorema sarà per sempre associato al nome di Pitagora, era effettivamente noto ai cinesi e ai babilonesi mille anni prima. Tuttavia quelle civiltà non sapevano che il teorema era vero per tutti i triangoli rettangoli. Era certamente vero per i triangoli che loro avevano misurato, ma essi non avevano modo di mostrare che fosse vero anche per tutti i triangoli rettangoli che non avevano misurato. La ragione per cui il teorema è attribuito a Pitagora sta nel fatto che egli fu il primo a dimostrarne la verità universale.

Ma come sapeva Pitagora che il suo teorema valeva per tutti i triangoli rettangoli? Egli non poteva certo sperare di misurare l'infinita varietà dei triangoli rettangoli e tuttavia poteva essere al cento per cento sicuro della verità assoluta del suo teorema. La ragione di questa fiducia sta nel concetto di dimostrazione matematica. La ricerca di una dimostrazione matematica è la ricerca di una conoscenza che è più assoluta della conoscenza accumulata da ogni altra disciplina. Il desiderio di una verità definitiva ottenuta attraverso il metodo della dimostrazione è ciò che ha guidato i matematici negli ultimi duemilacinquecento anni.

La prova assoluta

La storia dell'Ultimo Teorema di Fermat riguarda la ricerca di una dimostrazione mancante. La prova matematica, la dimostrazione, è di gran lunga più potente dell'idea di prova che adoperiamo casualmente nella vita quotidiana e persino del concetto di prova adottato dai fisici o dai chimici. La differenza tra prova matematica e prova scientifica è sottile ma profonda ed è di importanza cruciale per capire il lavoro di ogni matematico a partire da Pitagora. Una dimostrazione matematica classica deve iniziare con una serie di assiomi, asserzioni che possono essere assunte come vere o che sono palesemente vere. Quindi, argomentando logicamente, passo dopo passo, è possibile arrivare a una conclusione. Se gli assiomi sono corretti e l'argomentazione logica è impeccabile, allora la conclusione sarà irrefutabile. La conclusione è il teorema.

Le dimostrazioni matematiche si basano su questo procedimento logico e una volta provate restano vere fino alla fine dei tempi. Le dimostrazioni matematiche sono assolute. Per apprezzarne meglio il valore, dobbiamo paragonarle alla loro parente povera, la prova scientifica. Nella scienza si avanza un'ipotesi per spiegare un fenomeno fisico. Se le osservazioni sul fenomeno si accordano con l'ipotesi, questo diviene un indizio a suo favore. Inoltre, l'ipotesi non dovrebbe soltanto descrivere un fenomeno noto, ma prevedere gli esiti di altri fenomeni. Si possono eseguire esperimenti per verificare il potere di previsione dell'ipotesi, e se essa si dimostra di nuovo efficace, allora si hanno ulteriori indizi a suo sostegno. Alla fine il peso degli indizi può essere schiacciante e l'ipotesi viene accolta come una teoria.

Una teoria scientifica non può mai essere dimostrata con lo stesso grado di assoluta certezza con cui si dimostra un teorema matematico: essa viene soltanto considerata altamente probabile in base agli indizi disponibili. La cosiddetta prova scientifica si fonda sull'osservazione e la percezione, le quali sono entrambe fallibili e possono soltanto fornire un'approssimazione della verità. Come ha sottolineato Bertrand Russell: «Anche se può sembrare un paradosso, tutta la scienza esatta è dominata dall'idea di approssimazione». Persino le «prove» scientifiche più largamente accettate, recano sempre con sé qualche piccolo elemento di dubbio. Talvolta il dubbio si affievolisce, benché non scompaia mai del tutto, mentre in altre occasioni la prova si dimostra infine sbagliata. Questa debolezza della prova scientifica conduce alle rivoluzioni scientifiche in cui una teoria considerata corretta viene sostituita da un'altra teoria, che può essere soltanto una versione più raffinata della teoria originale, ma che può anche esserne la negazione completa. Per esempio, la ricerca dei componenti fondamentali della materia ha coinvolto ogni generazione di fisici, i quali hanno rovesciato o, per lo meno, perfezionato la teoria dei loro predecessori.

La moderna ricerca degli elementi sui quali è costruito l'universo iniziò al principio dell'Ottocento con una serie di esperimenti condotti da John Dalton per avanzare l'ipotesi che tutto fosse composto di atomi discreti e che gli atomi fossero i componenti basilari. Alla fine del secolo JJ. Thomson scoprì l'elettrone, la prima particella subatomica, e perciò l'atomo non fu più considerato basilare. Durante i primi anni del Novecento i fisici svilupparono una descrizione «completa» dell'atomo: un nucleo consistente di protoni e di neutroni, attorno al quale orbitano gli elettroni. Si riteneva orgogliosamente che protoni, neutroni ed elettroni fossero gli ingredienti unici e finali dell'universo. Gli esperimenti sui raggi cosmici rivelarono però f, l'esistenza di altre particelle fondamentali, i pioni e i muoni. Una rivoluzione ancor più grande si verificò con la scoperta nel 1932 dell'antimateria, che significava l'esistenza di antiprotoni, antineutroni, antielettroni etc. Sebbene i fisici delle particelle non potessero sapere con certezza quante particelle esistevano, erano almeno sicuri che queste entità fossero quelle basilari. Tale certezza si mantenne fino agli anni Sessanta, quando nacque il concetto di quark. Il protone stesso è in apparenza costituito da quark con carica frazionaria, come pure il neutrone, il pione e il muone.

La morale della storia è che i fisici mutano continuamente la loro immagine dell'universo, quando non la cancellano del tutto per ricominciare da capo. Nel prossimo decennio il concetto stesso di particella come oggetto puntiforme potrebbe essere sostituito dall'idea di particelle come «corde», le stesse corde che potrebbero spiegare meglio la gravita. La teoria è che corde lunghe quanto un miliardesimo di miliardesimo di miliardesimo di miliardesimo di metro (così piccole da apparire puntiformi) possono vibrare in modi diversi e ogni vibrazione da origine a una diversa particella. Questa teoria è analoga alla scoperta di Pitagora che la corda di una lira può dare origine a note diverse a seconda di come vibra. Il futurologo e scrittore di fantascienza Arthur C. Clarke scrisse che se un illustre professore afferma che qualcosa è indubitabilmente vero, allora è probabile che il giorno dopo la sua teoria si rivelerà falsa. La prova scientifica è inevitabilmente precaria e di qualità inferiore. D'altro canto la dimostrazione matematica è assoluta e indubitabile. Pitagora morì certo che il suo teorema, che era vero nel quinto secolo a.C., sarebbe rimasto vero per l'eternità.

La scienza procede come il sistema giudiziario. Una teoria viene assunta per vera se vi sono indizi sufficienti a dimostrarla «oltre ogni ragionevole dubbio». La matematica invece non si affida a esperimenti fallibili, ma è costruita su una logica infallibile.

Lo dimostra, a titolo di esempio, il problema della «scacchiera mutilata» .

Immaginate una scacchiera priva dei due angoli opposti bianchi, in modo che rimangono solo 62 scacchi. Prendete allora 31 tessere di domino di dimensione tale che ogni tessera ricopre esattamente due scacchi. La domanda è: è possibile disporre le 31 tessere in modo che ricoprano tutti i 62 scacchi della scacchiera?

Vi sono due modi di affrontare il problema:

a) L'approccio scientifico

Lo scienziato cercherebbe di risolvere il problema sperimentalmente, e dopo avere sperimentato qualche decina di combinazioni scoprirebbe che tutte falliscono. Alla fine egli ritiene che vi siano sufficienti indizi per dire che la scacchiera non può essere coperta. Tuttavia, lo scienziato non può mai essere certo che questo sia sempre vero, perché potrebbero esserci combinazioni da lui non sperimentate che potrebbero avere successo. Vi sono migliala di combinazioni differenti ed è possibile sperimentarne solo una piccola quota. La conclusione che sia impossibile coprire la scacchiera è una teoria basata sull'esperimento, ma lo scienziato dovrà vivere nella prospettiva che un giorno la sua teoria possa essere capovolta.

b) L'approccio matematico

Il matematico cerca di rispondere alla questione sviluppando un argomento logico da cui deriverà una conclusione indubitabilmente corretta e che rimarrà inconfutabile per sempre. Un argomento del genere è il seguente: