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 Leonardo Pisano, meglio conosciuto come Fibonacci, nacque a Pisa nel 1170 e morì nella stessa città nel 1240. Fibonacci era figlio di Guglielmo, diplomatico della Repubblica di Pisa, fu educato in Nord Africa, dove il padre aveva un posto come funzionario delle dogane a Bugia (l'attuale Bejaia), un porto del Mediterraneo nell'Algeria nord occidentale. Viaggiando parecchio con il padre in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provenza, Fibonacci ebbe la possibilità di studiare e confrontare diversi sistemi di numerazione e di esecuzione delle operazioni aritmetiche. Giunse alla conclusione che le cifre indo-arabe, basate sul principio del valore dipendente dalla posizione nel numero, erano largamente superiori a tutti gli altri metodi. Fibonacci terminò i suoi viaggi nel 1200, rientrò a Pisa dove scrisse numerosi testi che giocarono un ruolo importante nell'adeguare le antiche capacità matematiche ai suoi tempi. La Pisa del XII secolo era un porto molto prospero e attivo, e un nodo di traffici sia terrestri che marittimi. Spezie dell'Estremo Oriente transitavano per il comune toscano durante il tragitto verso il Nord Europa, aggiungendosi al vino, all'olio e al sale giunti da diverse parti dell'Italia peninsulare, della Sicilia e della Sardegna. La florida industria pisana dei pellami importava materia prima dall'Africa settentrionale, per poi utilizzarla nelle tante concerie situate presso il litorale. E' chiaro che tanto fervore di attività economiche implicasse un'altrettanto alacre contabilità. E non e così difficile immaginare Leonardo intento a osservare gli scrivani che annotavano serie interminabili di numeri romani, e li sommavano e sottraevano con l'abaco che consisteva per lo più in una serie di palline forate che scorrevano su fili paralleli. In un certo senso, la pluralità dei fili faceva le veci della notazione posizionale: un tipico abaco aveva quattro fili: quello in basso per le unità, il successivo per le decine, il terzo per le centinaia e l'ultimo per le migliaia. Fibonacci visse prima della scoperta della stampa, così che l'unica maniera di avere dei suoi testi fu quella di copiarli manualmente. Dei suoi libri sono rimaste alcune copie di Liber abaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos (1225), e Liber quadratorum, altri testi invece sono andati persi.
Liber Abaci (1202) è considerato tutt'ora il miglio libro di aritmetica, fu il mezzo principale di dimostrazione e introdusse gli enormi vantaggi del sistema di numerazione Indo-Arabo sul sistema romano. La sua algebra appare oggi di tipo curiosamente verbale, in quanto la soluzione è illustrata con parole anzichè raggiunta coi consueti passi con cui si risolvono le equazioni. Ecco un elegante esempio dei problemi trattati nel Liber abaci: Un uomo la cui fine era prossima convocò i figli e disse: «Dividete i miei denari come vi ordinerò». Comunicò al figlio maggiore: «Tu avrai un bezant [una moneta aurea originaria di Bisanzio] e un settimo del rimanente». E al secondo figlio: «Prendi 2 bezant e un settimo del rimanente». Al terzo figlio: «A te lascio 3 bezant e un settimo del rimanente». Così, diede a ciascun figlio un bezant più che al figlio precedente, e un settimo del rimanente. Avendo ubbidito con cura al volere del padre, i figli constatarono di essersi divisi l'eredità in parti uguali. Quanti erano i figli, e a quanto ammontava l'eredita? La reputazione di Leonardo fu così grande che il Re Federico II, visitando Pisa nel 1225, tenne una competizione pubblica di matematica per verificarne le reali capacità. Leonardo si dimostrandò il solo abile a rispondere a tutte le domande postegli. Uno era così formulato: «Si trovi un numero razionale [un intero o una frazione] tale che quando 5 è aggiunto o sottratto al suo quadrato, il risultato sia parimenti il quadrato di un numero razionale».Con la sola assistenza della sua straordinaria padronanza della teoria dei numeri, Fibonacci trovò che la soluzione del problema era 41/12. Infatti: (41/12)2 + 5 = (49/12)2 e (41/12)2 - 5 = (31/12)2. Tutti i pensieri di un coniglio sono conigli Molti studenti di matematica, di materie scientifiche e dt belle arti, hanno sentito nominare Fibonacci solo in virtù del seguente problema tratto dal dodicesimo capitolo del Liber abaci: Un uomo mise una coppia di conigli in un luogo circondato da tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli possono essere prodotte dalla coppia iniziale in un anno supponendo che ogni mese ogni coppia produca una nuova coppia in grado di riprodursi a sua volta dal secondo mese?
Si inizia con una coppia. Dopo il primo mese, la prima coppia dà origine a un'altra coppia, per cui ne abbiamo due. Nella figura è rappresentata una coppia matura, cioè fertile, con una grande icona di coniglio, e una coppia troppo giovane per procreate con un'icona più piccola. Dopo il secondo mese, la coppia matura produce un'altra coppia giovane, mentre la precedente coppia giovane diventa matura. Le coppie sono quindi tre. Dopo il terzo mese, ciascuna delle due coppie mature genera un'altra coppia, mentre la coppia giovane diventa matura, cosicchè le coppie sono cinque. Trascorso il quarto mese, ciascuna delle tre coppie mature genera una coppia, mentre le due coppie giovani diventano mature, portando il totale a otto coppie. Dopo il quinto mese, otteniamo una coppia giovane da ciascuna delle cinque coppie adulte, mentre tre coppie diventano mature, per un totale di tredici. A questo punto, è ormai chiaro come si possa calcolare, mese dopo mese, il numero di coppie mature, coppie giovani e coppie complessive. Supponiamo di esaminare solo il numero di coppie adulte, un mese dopo l'altro. Tale numero risulta composto dal numero di coppie adulte nel mese precedente, più il numero di coppie giovani diventate adulte dal medesimo mese precedente. Ma questo numero di coppie giovani in effetti è uguale al numero di coppie adulte nel mese ancora precedente. Perciò, in ogni mese a partire dal terzo il numero di coppie adulte è semplicemente uguale alla somma del numero di coppie pie adulte formerà quindii la successione: 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Inoltre, le coppie giovani formano esattamente la stessa successione, con un mese di ritardo. Per l'esattezza, la successione delle coppie giovani è 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Naturalmente, il numero totale di coppie è semplicemente uguale alla somma dei numeri corrispondenti delle due successioni, e forma a sua volta una successione uguale a quella delle coppie adulte, eccezion fatta per l'omissione del primo termine (1, 2, 3, 5, 8, ...) L'albero genealogico dell'ape maschio
Prendiamo in esame l'«albero genealogico» del maschio di ape, o fuco. Le uova delle api operaie danno origine a un fuco senza bisogno di fecondazione. Di conseguenza, un fuco ha una «madre» ma non un «padre». Le uova della regina, al contrario, sono fecondate dai fuchi e danno origine ad api femmine, operaie o regine. Perciò, un ape femmina ha sia una «madre» sia un «padre». Quanto al fuco, ha un genitore (la madre), due nonni (i genitori della madre), tre bisnonni (i genitori della nonna, e la madre del nonno), cinque trisnonni (due per ciascuna bisnonna, più la madre del bisnonno) e così via. L'albero genealogico del fuco forma una successione di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5..., Rivolgiamo l'attenzione ai rapporti degli elementi contigui (qui riportati fino al sesto decimale):
La quadratura dei rettangoli
Il diabolico undici La successione di Fibonacci ha una proprietà connessa col numero 11, che è assai bella. Immaginiamo di sommare i primi dieci numeri di Fibonacci: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143. Questa somma è esattamente divisibile per 11: 143/11 = 13. Lo stesso vale per qualunque decina di numeri di Fibonacci consecutivi. Per esempio, 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 + 2584 + 4181 = 10.857; e 10.857/11 = 987. Esaminando questi due esempi, si può scoprire ancora qualcosa: la somma di dieci numeri di Fibonacci consecutivi è sempre pari a undici volte il settimo numero del gruppo. Periodicità Gli antichi babilonesi usavano 60 anzichè 10 come base del loro sistema di numerazione. E sebbene i numeri di Fibonacci non abbiano, per quanto sappiamo, particolari collegamenti con l'antica Babilonia, ne hanno invece almeno uno col numero 60. Poichè un numero di Fibonacci è la somma dei due precedenti, i termini della successione crescono in fretta. Mentre il quinto numero di Fibonacci è semplicemente 5, il centoventicinquesimo e già 59.425.114.757.512.643.212.875.125. Curiosamente, la cifra delle unità si ripete con periodicità sessagesimale. Per esempio, il secondo numero di Fibonacci è 1, e il sessantaduesimo, cioè 4.052.739.537.881, termina anch'esso con 1. Quanto al centoventiduesimo, esso è 14.028.366.653.498.915.298.923.761, e termina con 1 al pari del centottantaduesimo, e così via. Allo stesso modo, il quattordicesimo è 377, e il settantaquattresimo e 1.304.969.544.928.657, che, come si nota, termina ugualmente con 7. Le ultime due cifre si ripetono con una periodicita pari a 300, e le ultime tre con una periodicita pari a 1500. Nel 1963 Stephen P. Geller, con l'aiuto di un calcolatore, ha scoperto che le ultime quattro cifre si ripetono ogni quindicimila termini, le ultime cinque ogni centocinquantamila, e dopo quasi tre ore di funzionamento del calcolatore, una ripetizione delle ultime sei cifre si è manifestata in corrispondenza col 1.500.000esimo numero di Fibonacci. Il matematico israeliano Dov Jarden mostrò che per qualunque numero di cifre da tre in poi la periodicità è semplicemente uguale a 15 moltiplicato 10 elevato a una potenza pari al numero di cifre meno 1 (cosicchè, per esempio, se le cifre sono sette la periodicità corrispondente è di l5 x 106 = 15 milioni). Numeri enigmatici Le proprietà dell'universo, dalla grandezza degli atomi a quella delle galassie, sono determinate dai valori di pochi numeri noti come «costanti universali». Tali costanti includono le misure della grandezza delle principali forze della natura: gravitazionale, magnetica, e di due forze attive nei nuclei atomici. Per esempio, la forza elettromagnetica attiva tra due elettroni è espressa in fisica come una costante detta «di struttura fine». Il valore di quest'ultima, quasi esattamente pari a 1/137, ha fatto sorgere interrogativi in intere generazioni di fisici. Una battuta sull'illustre fisico inglese Paul Dirac (1902-1984), uno dei fondatori della meccanica quantistica, racconta che, giunto in paradiso, l'uomo abbia avuto il permesso di rivolgere una sola domanda a Dio in persona e che gli abbia chiesto: «Perchè proprio uno su 137?».
In altre parole, scrivendo la cifra delle unita del primo numero di Fibonacci al secondo posto, quella del secondo numero al terzo posto, e in generale la cifra delle unità dell'ennesimo numero di Fibonacci al (n + l)esimo posto. Ebbene, limitandosi agli otto addendi citati, il risultato è 0,01123595..., cioè 1/89. trucco dell'addizione fulminea La successione di Fibonacci permette di effettuare un'addizione istantaneamente senza fatica. La somma dei numeri di Fibonacci dal primo all'ennesimo è uguale all'(n + 2)esimo numero meno 1. Per esempio, i primi dieci (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55) sommati danno 143; e il dodicesimo numero di Fibonacci e 144. Allo stesso modo la somma dei primi settantotto numeri di Fibonacci sarà uguale all'ottantesimo numero meno 1, e così via. Fibonacci pitagorici Abbastanza stranamente, i numeri di Fibonacci sono collegati anche alle terne pitagoriche. Queste, sono terne di interi tali che, se interpretati come lunghezze, corrispondono ai lati di un triangolo rettangolo (per esempio 3, 4 e 5). Ebbene, scegliete quattro numeri di Fibonacci quasiasi, purchè consecutivi: per ipotesi, 1, 2, 3 e 5. Il prodotto degli estremi (1 X 5, cioe 5), il doppio del prodotto dei medi (due volte 2 x 3, cioè 12), e la somma dei quadrati dei medi (22 + 32, ossia 4 + 9, cioè 13) formano una terna pitagorica; infatti, 52 + 122 = 132. Ma non è tutto: il terzo numero della terna, 13, è esso stesso un numero di Fibonacci. Viste queste misteriose e affascinanti caratteristiche dei termini della successione di Fibonacci, non stupisce che i matematici fossero ansiosi di trovare una formula maneggevole per calcolare, per qualunque valore di n, l'ennesimo numero di Fibonacci, Fn. A meta del XIX secolo, il matematico francese Jacques Phillipe Marie Binet (1786-1856) riscoprì una formula che a quanto pare era già nota nel XVIII secolo al più prolifico matematico di ogni tempo, Eulero (1707-1783). La formula permette di calcolare qualunque numero di Fibonacci, purchè sia noto il suo posto nella successione. La formula di Binet si basa interamente sul rapporto aureo:
Il quadrato di un termine Keplero (1571-1630), scoprì un'altra interessante proprietà della successione di Fibonacci: il quadrato di qualunque termine differisce di non più di un'unità dal prodotto dei due termini che gli stanno accanto nella successione. Per esempio, dato che l'inizio della successione è 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34..., constatiamo che il quadrato di 3 dififerisce di 1 dal prodotto dei numeri che gli sono a fianco, 2 e 5. (2 x 5 = 10). Allo stesso modo, 13, che si trova tra 8 e 21, ha per quadrate 169, mentre 21 X 8 è uguale a 168. E così via. Relazione tra i numeri di Fibonacci e numeri primi Ogni numero della serie di Fibonacci che sia anche numero primo, ha un indice nella serie anch'esso numero primo. Ad esempio, il numero 233, è il tredicesimo termine della serie e 13 è un numero primo. Una volta scoperti, i numeri di Fibonacci sembrano saltar fuori dappertutto, non solo nella matematica astratta ma in quella applicata e nella natura in genere. Alcuni esempi affascinanti sono offerti dalla botanica.
Come accade che le piante dispongono le foglie e altre loro parti secondo schemi basati su tali numeri? La crescita delle piante ha luogo in corrispondenza dell'apice del fusto, dove si trova un tessuto giovane atto all'accrescimento chiamato «meristema». L'apice vegetative ha una forma pressappoco conica, restringendosi verso la sommità. Quello che scopriamo (immaginando una linea curva che colleghi le foglie è che esse si succedono lungo una stretta spirale, chiamata «spirale vegetativa». L'importante dato quantitativo che caratterizza la disposizione delle foglie è l'angolo formato dalle linee rette che collegano il centro del fusto agli abbozzi delle foglie. Una delle scoperte dei fratelli Bravais nel 1837 fù che nuove foglie avanzano lungo la circonferenza formando un angolo pressappoco costante, e che quest'angolo (noto come angolo di divergenza) è di solito prossimo a 137,5°. L'angolo maggiore risultante dalla divisione dell'angolo giro secondo il rapporto aureo misura 360°/Φ, ovvero 222,5°. Ciò significa che l'angolo minore in cui l'angolo giro è diviso misura 360°—222,5°, cioè 137,5° (ed è a volte chiamato «angolo aureo»). In un pionieristico scritto del 1907, il matematico G. van Iterson ha dimostrato che, collocando una fitta serie di punti separati da 137,5° lungo una spirale avvitata strettamente, l'occhio riceve l'impressione di due famiglie di spirali, che si avvitano l'una in senso orario e l'altra in senso antiorario. I numeri di spirali delle due famiglie tendono a essere numeri consecutivi di Fibonacci, e infatti i rapporti tra questi numeri si avvicinano al rapporto aureo.
Il legame di Jacques Bernoulli col rapporto aureo passa per un'altra celebre curva. Egli fu così colpito dalla bellezza della curva, che dedicò un trattato intitolato "Spira mirabilis" (la spirale meravigliosa) a un particolare tipo di curva avvolta su se stessa (il nome deriva dal modo in cui il raggio cresce ruotando in senso antiorario).
Crescendo, per così dire, per accumulazione interna, la spirale logaritmica diviene sempre più ampia e la distanza tra un giro e i successivi aumenta man mano che ci si allontana dall'origine, detta «polo». In particolare, avanzando secondo angoli della medesima ampiezza, la distanza dal polo aumenta con una proporzione costante. Questo distingue la spirale logaritmica da un'altra spirale, detta «di Archimede» dal grande matematico di Siracusa (c. 287-212 a.C.) che l'ha discussa ampiamente nel trattato "Sulle spirali". Si può osservare la spirale di Archimede in un rotolo di tovaglioli, o in una corda che giace a terra avvolta su se stessa. In questo tipo di spirale, diversamente da quella logaritmica, la distanza tra i giri è sempre la stessa. La natura ama le spirali logaritmiche: dai girasoli alle conchiglie, dai vortici agli uragani alle immense spirali galattiche, sembra che la natura abbia scelto quest'armoniosa figura come proprio ornamento favorito. La forma costante della spirale logaritmica in ogni scala di grandezza si mostra in tutto il suo enigmatico splendore nelle forme di minuscoli fossili od organismi unicellulari noti come «foraminiferi». Anche se in questo caso le conchiglie a spirale sono strutture composte (e non un condotto continuo), le immagini a raggi X della struttura interna di questi fossili mostrano che la forma della spirale logaritmica è rimasta sostanzialmente immutata per milioni di anni.
Il collegamento tra spirale logaritmica e rapporto aureo è assai stretto. Nella serie di rettangoli annidati che si ottengono sottraendo un quadrato a un rettangolo aureo è contenuta la spirale logaritmica. Se si congiungono i punti in cui questo «vortice di quadrati» divide i lati secondo il rapporto aureo, si ottiene infatti una spirale logaritmica che si sviluppa intorno al polo (corrispondente al punto di intersezione delle diagonali, che, come si è detto, fù scherzosamente chiamato «l'occhio di Dio»). La spirale logaritmica si può ricavare anche da un triangolo aureo. Si è visto che partendo da questo triangolo (un triangolo isoscele in cui il rapporto di lunghezza tra i lati uguali e la base è pari a Φ e bisecando un angolo alla base si ottiene un triangolo aureo più piccolo. Continuando indefinitamente a bisecare gli angoli alla base si forma un «vortice» di triangoli sempre più piccoli, e collegando con una curva i vertici dei triangoli si ottiene una spirale logaritmica. La spirale logaritmica e anche chiamata «spirale equian-gola», un nome coniato nel 1638 dal matematico e filosofo francese Cartesio (1596-1650). L'aggettivo «equiangola» rispecchia un'altra proprietà unica della spirale logaritmica: tracciando linea dritta dal polo a un punto qualunque della spirale, questa intercetta la curva formando sempre lo stesso angolo. I falconi usano questa proprietà durante la caccia. Il falco pellegrino è uno degli uccelli più veloci, essendo in grado di calare sulla preda a oltre 300 chilometri all'ora. Ma potrebbe raggiungere una velocità superiore seguendo una traiettoria rettilinea.
Ancor più stupefacente è che la spirale osservabile nei foraminiferi unicellulari, nei girasoli e nel volo del falcone si trovi in quei «sistemi di stelle riunite insieme su un piano comune, come quelle della Via Lattea». Queste formazioni, che sono state anche chiamate «universi-isola», sono gigantesche galassie formate da centinaia di miliardi di stelle come il nostro Sole. Studi efifettuati con l'Hubble Space Telescope hanno rivelato l'esistenza di un centinaio di miliardi di galassie nell'universo visibile, molte delle quali sono «galassie spirali».
Dal 1963 la Fibonacci Association pubblica il periodico intitolato «The Fibonacci Quarterly*. L'associazione è stata fondata dai matematici Verner Emil Hoggatt (1921-1981)e Fratello Alfred Brousseau (1907-1988) «per scambiare idee e stimolare la ricerca sui numeri di Fibonacci e gli argomenti collegati». A dispetto, forse, delle attese, il «The Fibonacci Quarterly» è diventato da allora un affermato periodico nel campo della teoria dei numeri. Tutto ciò è solo un modesto tributo all'uomo che, partendo dai conigli, ha scoperto un concetto matematico di portata universale. (Tratto da "La sezione aurea" di Mario Livio - 2003 Rizzoli)
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Leonardo Fibonacci
Sommando un numero dispari di prodotti di successivi numeri di Fibonacci, come i tre prodotti 1 X 1, 1 x 2 e 2 X 3, si ottiene il quadrato dell'ultimo numero di Fibonacci dei prodotti in questione. Nell'esempio, 1 + 2 + 6 = 9 che è appunto il quadrato dell'ultimo numero di Fibonacci che compare nei prodotti (3). Un altro esempio? Proviamo la serie dei sette prodotti 1 x 1 (1), 1 x 2 (2),2 x 3(6), 3 x 5 (15), 5 x 8 (40),8 x 13 (104) e 13 X 21 (273); effettivamente la loro somma (441) è uguale al quadrate di 21, ultimo numero di Fibonacci della serie dei prodotti. Lo stesso accade con undici prodotti: (1 x 1) + (1 x 2) + (2 x 3) + (3 x 5) + (5 x 8) + (8 x l3) + (13 x 21) + (21 x 34) + (34 x 55) + (55 x 89) x (89 x 144) = 20736, e 20736 = 1442. Questa proprieta può essere rappresentata con grande eleganza in modo geometrico, come mostrato la figura. Un numero dispari di rettangoli con i lati uguali a una serie di termini della successione di Fibonacci trovano esattamente posto in un quadrate, il cui lato coincide con un lato del rettangolo più grande. La figura mostra il caso in cui si ottengono sette rettangoli.
