Insiemi: gli assiomi di Zermelo-Fraenkel. Filtri e basi di filtro.
Relazioni; relazioni di ordine; composizione di relazioni.
Funzioni. Insiemi equipotenti.
Famiglie di insiemi; prodotto cartesiano di una famiglia.
Numeri ordinali; somma e prodotto ordinale.
L'insieme dei numeri naturali.
Principio di induzione e definizioni per ricorrenza.
Numeri cardinali. L'assioma della scelta.
Confronto di cardinalità; somma, prodotto ed esponenziazione cardinale.
L'ipotesi del continuo.
Spazi topologici:
insiemi aperti e funzioni continue; basi e sottobasi; intorni;
assiomi di numerabilità.
Insiemi chiusi e chiusura.
Continuità in un punto.
Funzioni aperte e funzioni chiuse.
Insiemi densi e spazi separabili.
Costruzione di topologie:
topologia generata da una collezione di insiemi.
Spazi totalmente ordinati.
Sottospazi.
Topologia iniziale; prodotto topologico.
Topologia generata da un sistema di intorni.
Spazi metrici.
Topologia generata dai chiusi; operatori di chiusura.
Topologia finale: quozienti e somma topologica.
Convergenza: filtri e reti convergenti; sottoreti; punti di compattezza. Caratterizzazione della chiusura e della continuità.
Assiomi di separazione: spazi T0 e spazi T1. Spazi di Hausdorff. Spazi regolari. Spazi normali. Spazi di Tychonoff.
Compattezza:
spazi compatti;
convergenza negli spazi compatti;
il teorema di Heine-Borel;
punti di completa accumulazione;
il teorema di Tychonoff.
Compattezza negli spazi metrici.
Compattificazioni: spazi localmente compatti; compattificazione di Alexandroff. Confronto di compattificazioni. Compattificazione di Stone-Cech.