Introduzione ai numeri reali. Maggioranti e minoranti, massimo e minimo,
estremo superiore ed estremo inferiore.
La proprietà dell'estremo superiore.
Funzioni algebriche. Potenza ad esponente reale; le funzioni potenza,
esponenziale e logaritmo. Funzioni trigonometriche: seno, coseno e tangente;
funzioni trigonometriche inverse.
I reali estesi e gli intervalli. Le funzioni e i grafici; operazioni
con le funzioni. Funzioni monotòne; invertibilità delle
funzioni strettamente monotone.
Numeri naturali: proprietà del minimo e proprietà di
Archimede. Principio di induzione e sue applicazioni; definizioni per
ricorrenza.
Successioni. Operazioni con i limiti di successioni. Teoremi del confronto e
della permanenza del segno; teorema dei carabinieri.
Regolarità delle successioni monotone; il numero di Nepéro.
Sottosuccessioni; teorema di Bolzano-Weierstrass.
Limiti di funzioni. Intorni e punti di accumulazione. Limite destro e
limite sinistro. Limiti fondamentali delle funzioni elementari.
Cambiamento di variabile nei limiti. Limiti notevoli.
Funzioni continue; caratterizzazione della continuità tramite le
successioni. Operazioni con le funzioni continue; continuità
della composizione di due funzioni continue. Continuità uniforme.
Continuità dell'inversa di una funzione monotona su un intervallo.
Continuità delle funzioni elementari.
Classificazione dei punti di discontinuità.
Teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi.
Teorema di Heine-Cantor. Teorema di Weierstrass.
Derivabilità e differenziabilità. Significato geometrico
della derivata.
Derivazione delle funzioni elementari; regole di derivazione.
Punti di massimo e minimo relativo; andamento di una funzione
derivabile. Teoremi di Rolle, Lagrange, e Cauchy; teorema di
De L'Hôpital.
Convessità e concavità; punti di flesso. Relazione tra la
convessità di una funzione in un intervallo e il segno della derivata
seconda. Studio di funzioni.
Il polinomio di Taylor; formula di Taylor
con resto nella forma di Peano e nella forma di Lagrange.