Introduzione ai numeri reali: gli assiomi di campo totalmente ordinato;
irrazionalità della radice quadrata di 2.
Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore ed estremo
inferiore. La proprietà dell'estremo superiore.
Numeri naturali: proprietà del minimo e proprietà di
Archimede. Principio di induzione e sue applicazioni; definizioni per
ricorrenza.
Insiemi equipotenti; cardinalità. Insiemi finiti e infiniti,
numerabili e non numerabili. Procedimento diagonale di Cantor;
cardinalità dell'insieme dei numeri reali.
I reali estesi e gli intervalli. Le funzioni e i grafici; operazioni
con le funzioni. Funzioni monotòne; invertibilità delle
funzioni strettamente monotone.
Funzioni algebriche. Potenza ad esponente reale; le funzioni potenza,
esponenziale e logaritmo. Funzioni trigonometriche: seno, coseno e tangente;
funzioni trigonometriche inverse.
Funzioni continue. Operazioni con le funzioni continue; continuità
della composizione di due funzioni continue. Continuità uniforme.
Continuità dell'inversa di una funzione monotona su un intervallo.
Continuità delle funzioni elementari.
Successioni; caratterizzazione della continuità tramite le successioni.
Operazioni con i limiti di successioni. Teoremi del confronto e
della permanenza del segno; teorema dei carabinieri.
Regolarità delle successioni monotone; il numero di Nepéro.
Sottosuccessioni; teorema di Bolzano-Weierstrass.
Limiti di funzioni. Intorni e punti di accumulazione. Limite destro e
limite sinistro. Limiti fondamentali delle funzioni elementari.
Cambiamento di variabile nei limiti. Limiti notevoli.
Classificazione dei punti di discontinuità.
Teorema degli zeri e teorema dei valori intermedi.
Teorema di Weierstrass. Teorema di Heine-Cantor.
Derivabilità e differenziabilità. Significato geometrico di
derivata e differenziale. Derivazione delle funzioni elementari; regole di
derivazione.
Punti di massimo e minimo relativo; andamento di una funzione
derivabile. Teoremi di Rolle, Lagrange, e Cauchy; teorema di
De L'Hôpital.
Convessità e concavità; punti di flesso. Relazione tra la
convessità di una funzione in un intervallo e il segno della derivata
seconda. Studio di funzioni.
Il polinomio di Taylor; formula di Taylor
con resto nella forma di Peano e nella forma di Lagrange.
Irrazionalità del numero di Nepero.