Funzioni integrabili secondo Riemann; integrale di una funzione esteso a un
intervallo. Criterio di integrabilità. Esempio di funzione non
integrabile.
Linearità dell'integrale. Integrabilità
delle funzioni monotone. Integrabilità delle funzioni composte.
Integrabilità delle funzioni continue. Restrizioni ed estensioni di
funzioni integrabili. Integrabilità del prodotto di due funzioni
integrabili. Proprietà segmentaria dell'integrale.
Integrale di una funzione non negativa; monotonia dell'integrale.
Teorema della media; teorema della media generalizzato.
Integrale definito.
Funzione integrale e sue proprietà.
Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Primitive di una funzione; l'integrale indefinito.
Calcolo dell'integrale definito; esempi.
Confronto tra infinitesimi;
notazione “o piccolo” e “o grande”. Funzioni
differenziabili; il differenziale e le sue proprietà formali.
Integrali immediati. Metodi di integrazione indefinita. Integrazione
delle funzioni razionali; integrazione per razionalizzazione. Formula di
Hermite.
Sviluppi di Maclaurin e di Taylor; resto dello sviluppo di Taylor:
forma integrale e forma di Lagrange. Applicazione della formula di
Taylor al calcolo di limiti. Irrazionalità del numero e.
Integrale in senso generalizzato: definizione ed esempi. Funzioni
integrabili in senso generalizzato e funzioni sommabili. Criterio del
confronto per la sommabilità. Criteri di sommabilità.
Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza. La serie
geometrica. Collegamento tra serie e integrali generalizzati; criterio
“integrale”. Serie armonica; serie armonica generalizzata.
Serie a termini positivi. Convergenza assoluta. Criterio di
convergenza di Cauchy. Resto di una serie.
Criterio del confronto.
Criterio della radice; criterio del rapporto. Confronto asintotico.
Criterio dell'ordine di infinitesimo.
Criterio di Abel; criterio di
Leibniz. Esempio di funzione integrabile in senso generalizzato ma non
sommabile.
Riordinamenti e convergenza incondizionata. Cenno al
teorema di Riemann-Dini.
Norma euclidea. Disuguaglianze di Schwartz
e di Minkowski. Definizione di spazio metrico.
Metriche equivalenti
e uniformemente equivalenti. Sottospazi di uno spazio metrico. Diametro;
inisiemi limitati e illimitati. Esempi di spazi metrici.
Funzioni
continue e uniformemente continue in spazi metrici. Omeorfismi,
isomorfismi uniformi e isometrie.
Intorni; insiemi aperti e loro
proprietà. Punti di accumulazione e insiemi chiusi negli spazi
metrici; proprietà degli insiemi chiusi. Caratterizzazione della
continuità mediante aperti e chiusi.
Successioni convergenti
in spazi metrici. Proprietà topologiche espresse mediante le
successioni. Proprietà degli insiemi limitati negli spazi metrici.
Sottosuccessioni; spazi metrici compatti. Caratterizzazione dei
sottoinisiemi compatti di numeri reali; proprietà dei sottoinsiemi
compatti.
Successioni di Cauchy; spazi metrici completi. Teorema di
Banach-Caccioppoli.