Funzioni integrabili secondo Riemann. Integrale di una funzione esteso
a un intervallo. L'integrale definito. proprietà dell'integrale.
Integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media.
Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Primitive di una funzione; l'integrale indefinito. Integrali immediati;
integrazione per decomposizione in somma.
Infinitesimi e differenziale. Integrazione per sostituzione. Integrazione
per parti. Metodi di integrazione delle funzioni razionali.
Integrali generalizzati. Criteri di sommabilità.
Formula di Taylor con il resto nella forma di Peano. Espressione integrale
del resto della formula di Taylor. Teorema della media generalizzato.
Resto della formula di Taylor nella forma di Lagrange e nella forma di
Cauchy. Irrazionalità di e.
Serie numeriche. Somma di una serie. Resto di una serie; condizione
necessaria per la convergenza. Criterio di Cauchy. Criterio di condensazione.
Criterio di Abel; criterio di Leibniz.
Serie a termini positivi. Convergenza assoluta. Criteri della radice e
del rapporto. Collegamento tra serie e integrali generalizzati.
Criterio dell'ordine di inifinitesimo.
Riordinamenti di una serie; convergenza incondizionata. Teorema di
Riemann-Dini.
Spazi metrici. Metriche equivalenti e uniformemente equivalenti.
Sottospazi di uno spazio metrico. Diametro; insiemi limitati e illimitati.
Funzioni continue e uniformemente continue tra due spazi metrici.
Omeomorfismi, isomorfismi uniformi e isometrie.
Intorni, insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione
e chiusura di un insieme. Caratterizzazione delle funzioni continue tramite
gli aperti e i chiusi.
Successioni convergenti. Caratterizzazione delle funzioni continue e degli
insiemi chiusi tramite le successione. Cenno alla compattezza in spazi metrici.
Successioni di Cauchy; completezza negli spazi metrici.
Contrazioni; teorema di Banach-Caccioppoli.