COMPITO D'ESAME 2007

(pubblicato il 18 giugno 2007)

I

Una piramide regolare quadrangolare ha lo spigolo di base di 14 cm e l'apotema di 25 cm. Calcola l'area della superficie totale di un cilindro equivalente il cui raggio di base misura 10 cm.

FIGURA

P = C ( hanno cioè lo stesso volume)

 

AB = 14 cm; VM = 25 cm; LG = 10 cm.

PROCEDIMENTO

Mi occorre il volume della piramide e quindi preliminarmente la misura dell'altezza VH:

 

Da MH = ½ AB = 7 cm, applicando il t. di Pitagora al triangolo rettangolo VHM,

ricavo VH = 24 cm. Pertanto V (Piramide) = 1/3 ABxABxVH = 196 x 24 : 3 = 1568 cm cubi.

 

Passo al cilindro :

V(cilindro) = 1568 cm cubi

Area di base: A b = p x r x r = p x 100 = 100 p cm quadrati = 314 cm quadrati

Per il calcolo della superficie laterale mi occorre l'altezza NL, che ricavo dalla formula inversa del volume: NL = 3 V / p x r xr = 1568 x 3 : 314 = 14,98 cm.

Superficie laterale:S l = 2 p x r x h = 6,28 x 10 x 14,98 = 940,744 cm quadrati

Superficie totale: S t = S l + 2 x A b = 940,744 + 628 = 499,6 p cm quadrati (circa )

 

II

Risolvi e verifica:

 


PROCEDIMENTO

Applicando il secondo principio di equivalenza delle equazioni (moltiplico entrambi i membri per il m.c.m. dei denominatori che è 51) ottengo la seguente equazione equivalente all'equazione data:

 

6x + 15 + 85x = 51 + 119x – 204;

 

applicando il primo principio di equivalenza delle equazioni, trasporto tutti i termini con l'incognita del secondo membro al primo cambiandoli di segno, e i termini noti del primo al secondo cambiandoli di segno: ottengo così la seguente equazione equivalente alla precedente:

 

6x + 85x - 119x = 51 - 204 - 15;

 

da cui, riducendo i termini simili, ottengo:

 

 - 28x = - 168.

Dividendo entrambi i membri per -28 (secondo principio di equivalenza delle equazioni) ottengo la soluzione:

 

x = 6

 

VERIFICA:

Sostituendo 6 all'incognita x nell'equazione di partenza avremo:

17/17 + 30/3 = 1 + 30/3

11 = 11.

 

III

Considera alcuni solidi di vetro (peso specifico = 2,5 g/cm cubi ). Quale relazione lega il peso al volume? Costruisci una tabella di valori relativi ai pesi e ai volumi, quindi riporta tali grandezze in un diagramma cartesiano.

 

PROCEDIMENTO

La relazione che lega il peso al volume è la legge del peso volumico:

 

P = V x p s

Nel caso in esame tale legge diventa:

P = 2,5xV

Costruisco una tabella scegliendo per i volumi i seguenti valori e ne ricavo il relativo diagramma cartesiano:

0 - 2 - 4 - 6 - 8

x =V

y = P

0

0

2

5

4

10

6

15

8

20

Dal diagramma si rileva che si tratta di una curva lineare (retta) passante per l'origine del riferimento; quindi la legge in esame stabilisce tra le due variabili, dipendente ed indipendente, una proporzionalità diretta: ciò significa che all'aumentare o al diminuire del volume, il peso aumenta o diminuisce in ugual misura.

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