Radicali algebrici.

 

Consideriamo la seguente equazione:

Il valore della x che soddisfa l’equazione è quel numero che elevato al quadrato dà 2.

 

Utilizzando la definizione di radicale aritmetico possiamo dire che:

è proprio uno dei numeri che cerchiamo (1).

Infatti  è quel numero che elevato al quadrato dà 2.

 

Se consideriamo l’equazione:

osserviamo che non esiste alcun numero reale il cui quadrato sia negativo (2); pertanto tale equazione non può avere soluzione all’interno dell’insieme dei numeri reali.

Tale fatto trova un suo riscontro anche se utilizziamo la definizione di radicale aritmetico;

infatti:  non può essere un numero reale poiché non esiste un radicale aritmetico con radicando negativo.

 

Se consideriamo l’equazione:

ci troviamo di fronte ad un problema:

tale equazione ammette come soluzione x = -2; infatti in tal caso si ha che (-2)3 = -8

Non possiamo, però esprimere tale risultato con un radicale aritmetico; infatti  non può essere considerata un’espressione corretta perché utilizza un radicale aritmetico con radicando negativo (3).

Risolviamo il problema introducendo il concetto di radicale algebrico (4)

 

Definizione di radicale algebrico:

Casella di testo:

 

 

 

 

 

 

Pertanto, un radicale algebrico se ha l’indice dispari può avere il radicando negativo.

 

Per i radicali algebrici non vale la proprietà invariantiva (5) e tutte le proprietà dei radicali aritmetici derivanti da essa.

 

 

Note

 

(1)   : essendo un’equazione di II grado, può avere due soluzioni fra i numeri reali. Nel caso specifico l’altra soluzione è data da ; infatti elevando al quadrato un valore negativo, si ha come risultato un valore positivo. Non possiamo ritenere come soluzione dell’equazione il valore , non solo perché è un radicale inesistente, ma anche (e soprattutto) perché non corrisponde alla equazione imposta. Infatti tale equazione è risolta da quel valore di x che elevato al quadrato dia 2 e non -2 (come farebbe intendere il radicale indicato in quest’ultima espressione.

 

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(2)   Qualsiasi numero elevato ad un esponente pari dà come risultato un numero positivo; infatti, ricordando che meno per meno dà più e più per meno dà meno, si vede che moltiplicando per se stesso il segno - un numero di volte pari, il segno risultante sarà sempre +

 

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(3)   Non possiamo indicare la soluzione dell’equazione nella forma:  perché il radicale utilizzato in questo caso non corrisponderebbe all’equazione da risolvere ( non rappresenta il numero che elevato alla terza dà -8, ma il valore negativo del numero che elevato alla terza dà 8). Se ammettessimo tale possibilità, dovremmo arrivare alla conclusione che:  e, generalizzando: . Tale uguaglianza è, però, palesamente falsa nel caso l’indice sia pari; pertanto non può essere considerata come una proprietà di tutti i radicali aritmetici. Allora, se non vale per tutti i radicali, non può essere considerata valida per nessuno di essi.

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(4)   I radicali aritmetici derivano da un’esigenza numerica: esprimere il numero che elevato ad una certa potenza dia un determinato valore; i radicali algebrici, invece, derivano dall’esigenza di poter esprimere il risultato di un’equazione. I nomi di questi due tipi di radicali sono perciò legati all’ambito matematico da cui hanno origine.

 

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(5)    Infatti potremmo avere il caso (evidentemente contraddittorio) : . In definitiva, i radicali algebrici risolvono il problema della rappresentazione del risultato di un’equazione (vedi nota 4), ma devono fare a meno della proprietà invariantiva che ci permette, invece, di poter eseguire operazioni importanti con i radicali aritmetici (semplificazione, prodotto fra radicali con indice diverso, ecc.)

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